Pirâmide

Uma pirâmide tem uma base quadrada de lado 1 e suas faces laterais são triângulos equiláteros.Um cubo é colocado no interior de uma pirâmide de tal modo que uma face do cubo está sobre a base da pirâmide e a face oposta tem todas as arestas sobre as faces laterais da pirâmide.Qual o volume desse cubo?

Faça um bom desenho da pirâmide VABCD
Trace as duas diagonais AC e BD da base da pirâmide
Desenhe o cubo (lado a) de base inferior A'B'C'D' e superior A"B"C"D"
A' e C' estão sobre a diagonal AC e B' e D' sobre a diagonal BD

AB = BC = CD = DA = 1
VA + VB + VC + VD = 1

Seja M o ponto médio de AB e O o centro das bases do cubo e da pirâmide:

OM = 1/2 ---> VM = √3/2 (altura triângulo equilátero)

Altura da pirâmide ---> h² = ( √3/2)² - (1/2)² ---> h = √2/2

AC = BD = √2

A'C' = a.√2 ---> AA' = CC' = x --->  AC = x + AC + x ---> √2 = 2x + a. √2 ---> Calcule x

Triângulos A"A'A e VOA são triângulos retângulos semelhantes ---> Calcule a

V = a³

Outro modo (bem parecido)