Geometria espacial

30. (IME-88/89) Mostre que a área total do cilindro equilátero inscrito em uma esfera é média
geométrica entre a área da esfera e a área total do cone equilátero inscrito nessa esfera.

Os desenhos são por sua conta.

Sejam R, r, r' os raios da esfera, do cilindro e do cone

Cilindro equilátero ---> h = 2.r
Cone equilátero ---> g = 2.r'

Sci = 2.pi.r² + 2.pi.r.h ---> Sci = 2.pi.r² + 2.pi.r.(2.r) ---> Sci = 6.pi.r²

R² = = r² + r² ---> R² = 2.r² ---> R = r.√2
Se = 4.pi.R² ---> Se = 4.pi.(2.r²) ---> Se = 8.pi.r²

g = 2.r' ---> g = 2.R.cos30º ---> 2.r' = 2.(r.√2).(√3/2) --> r' = r.√6/2 ---> r'² = 3.r²/2

Sco = pi.r'² + pi.r'.g ---> Sco = pi.(3.r²/2) + pi.r'.(2.r') ---> Sc = 3.pi.r²/2 + 2.pi.r'² --->

Sc = 3.pi.r²/2 + 2.pi.(3.r²/2) ---> Sco = 9.pi.r²/2

Mádia geométrica ---> (Sci)² = Se.Sco ---> (6.pi.r²)² = (8.pir²).[(9/2).pir²] --->

36.pi²(r²)² = 36.pi².(r²)² ---> OK

Ok.
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