Equação do 2º grau e vértice da parábola

Olá, alguém pode elucidar esse problema?, grato desde já!

A equação y=x²+mx+(15-m) tangencia o eixo x e corta o eixo y no ponto (o;K), se a coordenada x do vértice é negativa, K vale quanto?

Note que:
. O coeficiente do x² é 1. Por ser positivo, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
. A parábola tangencia o eixo x, ou seja, ela desce, toca o eixo x e volta a subir.
. O ponto em que a parábola corta o eixo x corresponde a raiz da parábola (só apresenta uma raiz) e ao vértice dela.

Dadas essas percepções:

O x do vértice é calculado por -b: 2a, observando a equação da parábola, notamos que b = m e a = 1.
Portanto, o ponto em que toca o eixo x é -m: 2.

Como esse ponto também é raiz:

f(x) = x²+mx+(15-m) 
f(-m:2) = m²:4 - m²:2 + 15 - m = 0


Multiplicando por 4:


m² - 2m² -4m + 60 = 0


-m² - 4m + 60 = 0

m² + 4m - 60 = 0


(m - 6)(m+10) = 0


m = 6 ou m = -10


Como no ponto de tangência x = -m:2,


x = -3 ou x = 5.


MAS: O enunciado fala que o valor da coordenada x nesse ponto deve ser negativa.


Desprezamos assim x = 5 e admitimos que a parábola corta o eixo x no ponto P=(-3;0)


Reescrevendo: y = x² + 6x + 9 ou y = (x +3)²


O gráfico corta o eixo y quando x = 0
Portanto: Nesse ponto: y = 0 + 0 + 9 --> y = 9


A coordenada do ponto em que a parábola intercepta o eixo x é (0,9), daí concluindo: k = 9