Equação trigonométrica.

por gustavolol2 Qui 31 Mar 2016, 21:19

Olá pessoal. Gostaria de um ajuda nessa questão.

Se tg (x/2) = t, Prove que:

a-) senx = 2t/(1+t²)

b-) cosx = (1-t²)/(1+t²)

Agradeço desde já. Um abraço.

por **Carlos Adir** Qui 31 Mar 2016, 21:25

As duas(entre outras) estão disponíveis nos links:
Demonstração de identidades trigonométricas
Mas há outra maneira:
$\mathrm{sen \ x = 2sen\frac{x}{2}\cdot cos \frac{x}{2}=2\cdot \dfrac{sen \frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}\cdot cos^2\frac{x}{2}=2\cdot tan \frac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{sec^2 \frac{x}{2}}=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\dfrac{2t}{1+t^2}}$
$\mathrm{cos \ x = cos^2\frac{x}{2}-sen^2\frac{x}{2}=cos^2\frac{x}{2}\left(1-\dfrac{sen^2\frac{x}{2}}{cos^2 \frac{x}{2}}\right)=\dfrac{1}{sec^2\frac{x}{2}}\cdot \left(1-tan^2\frac{x}{2} \right )=\dfrac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}$
Lembrando sempre que:
$\mathrm{sec^2 \ x = 1+tan^2\ x }$