Questão elegante - MHS, efeito Doppler, etc.

Um objeto esférico emite som de frequência natural  f_{0} quando é abandonado da posição indicada na figura. A colisão do objeto com a placa metálica em repouso é totalmente inelástica. O conjunto objeto + placa inicia logo após a colisão um MHS. Determine o máximo valor de  \frac{f-f_{0}}{f_{0}} , onde f é a frequência do som emitido captada pelo observador. 

Dados:

Constante da mola: k
Massa da placa metálica: M
Massa do objeto: m
Comprimento natural da mola:  l_{0}
Distância inicial do objeto ao solo: h
Velocidade do som no ar: u
Aceleração da gravidade: g

Não tenho o gabarito, por isso estou postando aqui no fórum para saber como vocês resolveriam.

Conceitualmente:

1- A esfera transmite sua energia potencial de altura ao conjunto formado por esfera+placa
2- Parte dessa energia põe a placa a vibrar e parte comprime a mola. A energia vibratória pode ser desprezada por pequena.
3- A mola entra em MHS (sobe e desce).
4- A frequência percebida pelo observador será tão maior quanto maior for a velocidade de aproximação da fonte em relação a ele. A maior frequência percebida produzirá a maior diferença f-f₀.
5- A maior velocidade no MHS (na subida) é a velocidade procurada.

A seguir, o índice zero refere-se à fonte:



encontre a velocidade.

Pensei a mesma coisa e fiz o cálculo, porém não sei se está totalmente correto.

Como a esfera foi abandonada, sua velocidade inicial é nula. Assim é possível encontrar sua velocidade antes da colisão.

 v^{2}=2gd

Chamando de  l a distância inicial da placa ao solo, tem-se que

 l = l_{0}-x_{0}

Porém:

Mg=kx_{0}

 x_{0}=\frac{Mg}{k}

Agora é possível encontrar l :

 l = l_{0}-\frac{Mg}{k}

Então...

 d = h-l_{0}+\frac{Mg}{k}

 v^{2}=2g(h-l_{0}+\frac{Mg}{k})

 v=\sqrt{2g\left ( h-l_{0}+\frac{Mg}{k} \right )}

Para uma colisão inelástica:

 mv = (m+M)v'

v'=\frac{m}{m+M}\sqrt{2g\left ( h-l_{0}+\frac{Mg}{k} \right )}

Sabemos que a equação horária para a velocidade em um MHS é

 v' = \omega.x.sen(\omega t+\varphi _{0}) ... em módulo

Fazendo t = 0 o instante inicial como sendo o logo após a colisão, então

 v' = \omega.x.sen(\varphi _{0})

Ao mesmo tempo, temos

 x = A.cos(\varphi _{0})

Precisamos calcular o x no instante t = 0. Aqui eu estou com dúvida. Fiz da seguinte forma: 

A distância inicial da placa ao solo é l . A nova posição de equilíbrio após a colisão será:

 x_{eq}=\frac{(m+M)g}{k}

Então podemos calcular x por:

 x_{eq}-x=l_{0}-l

 \frac{(m+M)g}{k}-x=l_{0}-l_{0}+\frac{Mg}{k}

 x = \frac{mg}{k}

Da trigonometria: 

 sen^{2}(\varphi _{0})+cos^{2}(\varphi _{0})=1

 \frac{v'^{2}}{\omega ^{2}x^{2}}+\frac{x^{2}}{A^{2}}=1

 A=\frac{\omega x^{2}}{\sqrt{\omega ^{2}x^{2}-v'^{2}}}

Substituindo os valores de v' e x e sabendo que  \omega =\sqrt{\frac{k}{m+M}} :

 A=\frac{\frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}}\sqrt{\frac{k}{m+M}}}{\sqrt{\frac{m^{2}g^{2}}{k(m+M)}-\frac{2gm^{2}\left ( h-l_{0}+\frac{Mg}{k} \right )}{(m+M)^{2}}}}

Então, a velocidade máxima será:

v_{max}=\omega .A ... em módulo

 v_{max}=\sqrt{\frac{k}{m+M}}\frac{\frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}}\sqrt{\frac{k}{m+M}}}{\sqrt{\frac{m^{2}g^{2}}{k(m+M)}-\frac{2gm^{2}\left ( h-l_{0}+\frac{Mg}{k} \right )}{(m+M)^{2}}}}

 v_{max}=\frac{m^{2}g^{2}}{k\sqrt{\frac{m^{2}g^{2}(m+M))}{k}-2gm^{2}\left ( h-l_{0}+\frac{Mg}{k} \right )}}

Então, baseando-me no seu raciocínio, a resposta será:

 \boxed{\left ( \frac{\Delta f}{f_{0}} \right )_{max}=\frac{m^{2}g^{2}}{u\sqrt{m^{2}g^{2}k(m+M)-2gk^{2}m^{2}\left ( h-l_{0}+\frac{Mg}{k} \right )}-m^{2}g^{2}}}  

A resposta está dimensionalmente correta, mas não sei se está correta. Por favor, avalie Euclides. Obrigado.

Antes de mais nada você mostrou que não tem preguiça. Não refiz todas as passagens algébricas. Acompanhei o raciocínio e confiei na álgebra.

O raciocínio parece conter a lógica certa e, se o resultado após tantas passagens, conserva adequação dimensional, provavelmente estará correto.

Euclides, uma dúvida. No caso do momento da colisão, esta não iria provocar um som de modo a ocorrer alguma interferência com o som emitido pela esfera?

gilberto97 escreveu:Euclides, uma dúvida. No caso do momento da colisão, esta não iria provocar um som de modo a ocorrer alguma interferência com o som emitido pela esfera?

Eu entendi que a placa metálica é uma espécie de gongo provocado pelo choque.

Mas se imaginarmos uma fonte sonora qualquer, rádio, qualquer coisa. Se eu abandonar essa fonte de uma certa altura, como a colisão afetaria o som emitido por ela?

gilberto97 escreveu:Mas se imaginarmos uma fonte sonora qualquer, rádio, qualquer coisa. Se eu abandonar essa fonte de uma certa altura, como a colisão afetaria o som emitido por ela?

Sabe Deus...

Euclides escreveu:

gilberto97 escreveu:Mas se imaginarmos uma fonte sonora qualquer, rádio, qualquer coisa. Se eu abandonar essa fonte de uma certa altura, como a colisão afetaria o som emitido por ela?

Sabe Deus...

Acredito que ocorreria interferência entre o som emitido pela fonte e o som causado pelo choque, mas algo de instantes (desconsiderando deformações). Acho que isso não afetaria muito, mas definitivamente não tenho certeza.

Se os dois sons chegassem ao observador haverá interferência que vai depender da diferença de fase, da distância ao observador, etc. Fica muito especulativo...