(Harvard) Sequência

por jose roberto Dom 21 Nov 2010, 16:17

A sequência 122333444455555... consiste de dígitos. sabe-se que cada inteiro n positivo é repetido n vezes, em ordem crescente. Ache a soma do 4.501º e 4.052º dígitos dessa sequência.

por **Euclides** Dom 21 Nov 2010, 18:12

Essa sequência de números naturais forma uma PA de razão 1, cada número ocupando n casas. O último número de cada grupo ocupa a casa cuja ordem é a soma da PA de 1 até n

exemplo: o último número do grupo 5 ocupa a casa de ordem 15

$\\a_1=1\hspace{20}a_n=a_1+(n-1)r\hspace{20}S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\S_n=\frac{(2a_1+n-1)n}{2}\,\,\to\,\,15=\frac{(1+n)n}{2}\,\,\to\,\,n^2+n-30=0\,\,\to\,\,n=5$

o que temos a fazer é procurar o grupo cuja última casa é a mais próxima dos números de ordem procurados

a) 4052

$\\4052=\frac{(1+n)n}{2}\,\,\to\,\,n^2+n-8104=0\\\\\Delta=32417 \,\,\to\,\,\sqrt{\Delta}=180,04\,\,\to\,\,179\\n=\frac{1\pm179}{2}\,\,\to\,\,n=90$

o último número do grupo 90 ocupa a casa de ordem

$\\S_n=\frac{(1+90)90}{2}=4095$

e o primeiro a casa de ordem $4095-89=4006$ , portanto na casa 4052 estará o número 90.

b) 4501 (analogamente)

$\\4501=\frac{(1+n)n}{2}\,\,\to\,\,n^2+n-9002=0\\\\\Delta=36009 \,\,\to\,\,\sqrt{\Delta}=189,76\,\,\to\,\,189\\n=\frac{1\pm189}{2}\,\,\to\,\,n=95$

o último número do grupo 95 ocupa a casa de ordem

$\\S_n=\frac{(1+95)95}{2}=4560$

e o primeiro a casa $4560 -94=4466$ , portanto na casa 4501 estará o número 95.

$\fbox{90+95=185}$

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