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Ache a soma gerada por :

[;\frac { 1 }{ { 3 }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } } .\left( \frac { 1 }{ 1 } -\frac { 1 }{ { 3 }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 5^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } .\left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { 5 }^{ 2 } } \right) +....;]

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T[k] = 1/((k + 2)² - k²)*(1/k² - 1/(k + 2)²) = 1/k²(k + 2)²
Onde k só pode ser ímpar.
T[k] = 1/(k(k + 2))²
Vamos reorganizar isso em 2 frações parciais:
A/k + B/(k + 2) = 1/(k(k + 2))
A(k + 2) + Bk = 1
Logo:
2A = 1 => A = 1/2
Então:
k/2 + Bk = 0 => B = -1/2
Segue:
T[k] = (1/2k - 1/2(k + 2))²
T[k] = 1/4(k²) + 1/4(k + 2)² - 1/2k(k + 2)
Vamos novamente reorganizar a ultima parte de T[k] em duas frações parciais:
1/2k(k + 2) = A/2k + B/(k + 2)
A(k + 2) + 2Bk = 1
Então: 2A = 1 => A = 1/2
Ak + 2Bk = 0 => B = -1/4
Então:
T[k] = 1/4(k²) + 1/4(k + 2)² + 1/4k - 1/4(k + 2)
T[k] = (1/4)*(1/k² + 1/(k + 2)² + 1/k - 1/(k + 2))
Vamos expandir a ultima parte da soma de T[k]:
1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - ... + 0 = 1
Já a soma de 1/k² é:
S = 1/1² + 1/3² + 1/5² + ... + 0
Enquanto a soma de 1/(k + 2)² é:
S' = 1/3² + 1/5² + ... + 0 = S - 1
Então a soma de T[k] (x) é:
x = (S + S - 1 + 1)/4 = S/2
Edit:

Li um artigo e quebrei um pouco mais a cabeça e consegui fazer a soma S.
Veja o problema de Basel:
http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
Valendo-se da demonstração do artigo acima:
S'' = 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ... + 0 = pi²/6
S'' = (1/2² + 1/4² + 1/6² + ... + 0) + (1 + 1/3² + 1/5² + 1/7² + ... + 0)
Mas note que o termo da primeira parte da soma é 2n, então podemos simplifica-la:
S'' = (1/4)*(1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 0) + S => S'' = S''/4 + S
3S''/4 = S => S = pi²/8
Então:
x = pi²/16