Hexágonos e círculos

por Beatriz.. Sex 09 Out 2015, 18:00

Livros de colorir com temas da natureza vêm conquistando o público brasileiro e ajudando-o a tratar um dos males do século: o estresse. O "colorir", como têm apontado muitos terapeutas, não só desenvolve o lado artístico do ser humano como também tem função terapêutica, o que pode ser uma solução relaxante para quem anda ansioso ou com os nervos à flor da pele.
Existem vários tipos de desenhos para colorir, entre eles o mandala que utiliza formas geométricas de diversos tipos. A figura abaixo mostra um exemplo de mandala já colorido.

Hexágonos e círculos Image017_531fe012dc6556a61c7164a0ba72131d

Na figura acima todos os hexágonos são regulares, e o círculo vermelho está inscrito no hexágono roxo. Os vértices do hexágono roxo tocam no ponto médio do hexágono amarelo e o mesmo toca no ponto médio do hexágono azul. Se o raio do círculo maior tem 3 cm, qual é a razão da área pintada de vermelho e a área pintada de azul?

O que tá errado nos meus cálculos?

Primeiro calculei a área azul, que seria:

3²*(raizde3)/4 * 6

9*raizde3/4 * 6

= (54*raizde3)/4

Daí dá pra perceber que já que tá no ponto médio a cada hexágono a aresta divide por 2, sendo assim, no roxo já estaria em 0,75, e a altura dele é igual ao raio do círculo vermelho.

0,75*raizde3/2

Então a área seria:

3/4²*raizde3²/2² * pi

(9/16*3)/4 *pi

(27/16)/4 * pi

27/64 * pi

Daí dividindo pra obter a razão entre a vermelha e a azul:

27pi/64 * 4/54raizde3 =

108pi/3456raizde3

simplificando:

pi/32raizde3

racionalizando:

pi*raizde3/9

Mas não tinha nenhuma alternativa assim e o gabarito só sai próxima semana.

Agora alguém poderia me indicar o que está errado nos cálculos?

Eu ia postar mas achei que podia ser algum erro simples no meu cálculo..
a)3*raizde3*pi/8
b)27*raizde3/8
c)243pi/8
d)9/4
e)9*raizde3/8

por **Elcioschin** Sex 09 Out 2015, 19:34

Se você diz que não existe alternativa coincidente com a sua resposta, isto indica que "existem alternativas".

Logo, você NÃO está respeitando a Regra XI do fórum: a postagem das alternativas é obrigatória !!!

por **raimundo pereira** Sex 09 Out 2015, 19:44

por Beatriz.. Sex 09 Out 2015, 20:30

Ramundo, muito obrigada pela imagem, ela ajudou bastante a dar uma melhor visualizada na questão como um todo (e essa propriedade de que o menor cateto deve ter metade da hipotenusa que eu tbm não sabia). Mas porquê o raio do círculo tem de ser 3-3/4?

por **raimundo pereira** Sex 09 Out 2015, 20:55

Beatriz ,
como falamos o lado do hexágono azul é igual a raio=3
Repartindo ao meio o triâng. azul obtemos 2 triângs iguais . Nesse triâng. azul menor veja que a hipotenusa mede 3/2=1,5 . Se a hipotenua é 1,5 , o menor cateto mede 1,5/2=0,75=75/100=3/4.

Observe agora que o lado do triâng. equilátero mede o raio=3, menos 3/4 --->3-3/4=9/4

O raio do círculo não é 3- (3/4) e sim a altura do triângulo de lado 9/4 ----h=raio do circulo= LV3/2= {(9/4) . V3}2=
9V3/8

por Beatriz.. Sáb 10 Out 2015, 23:44

Socorroooo essa questão não tá saindo de jeito nenhum!
Eu entendi o que você disse, no caso a área do círculo ficaria 243*raizde3/64
Daí na hora da razão daria absurdos 243*raizde3*pi/324!

E agora josé?

por **Medeiros** Dom 11 Out 2015, 00:43

Vou tentar uma abordagem diferente daquela do mestre Raimundo, talvez lhe fique mais fácil.

Hexágonos e círculos 5x7mmc

.:. S(verm)/S(azul) =~ 2,0

por **raimundo pereira** Dom 11 Out 2015, 11:41

Vamos fazer as contas e chegar ao gabarito do Medeiros:
Você achou certo a área do círculo Sc=243pi/64
---------------------------------------------------( base.........).....(h)
Calculando a área dos triângs em azul : St={(3/4¨. V3) . 2 . (3/4)}/2. 6)=27V3/8

Sc/St= (243pi/64) / 27V3/8---->234pi/64 . 8/27V3=9pi/8V3---->9pi.V3/8.3=3V3pi/8.

Pronto! 2 modos diferentes , mesmo resultado. Dúvidas pergunte.

por Beatriz.. Dom 11 Out 2015, 16:00

Descobri o meu erro: Tava calculando a área azul completa, como se ela englobasse todas as outras figuras e não só a parte que aparece na figura, por isso a conta tava tão estranha.
Muito obrigada à vocês dois pela imensa ajuda, o traçado na figura principal realmente me ajudou bastante a ter uma maior visualização da questão.
Bem difícil mas consegui. Ou melhor dizendo, conseguimos! Abraços!