Polinômio.

por RamonLucas Ter Out 06 2015, 17:30

Considere os polinômios p(x) x⁸⁰+23x⁷⁹-x²-x-1 e b(x)=x²+2x-3. Sendo r(x) o resto da divisão de p(x) por b(x), o valor de r $\left ( \frac{1}{2} \right )$ é igual a

A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2

Não possuo gabarito.

por **Carlos Adir** Ter Out 06 2015, 19:26

$\\ \mathrm{p(x)=q(x)\cdot b(x) r(x)} \\ \mathrm{p(x)=x^{80}+23x^{79}-x^2-x-1} \\ \mathrm{b(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)} \\ \mathrm{r(x)=ax+b}$
Podemos ver que 1 e -3 são raizes de b(x), logo, b(-3) e b(1)=0.
$\\ \mathrm{p(1)=q(1)\cdot b(1) + r(1)} \\ \mathrm{p(1)=q(1) \cdot 0 + r(1)} \\ \mathrm{p(1)=r(1)} \\ \mathrm{De \ modo \ an\'alogo:} \\ \mathrm{p(-3)=r(-3)}$
Assim, podemos calcular p(1) e p(-3):
$\\ \mathrm{p(1)=1^{80}+23\cdot 1^{79}-1^2-1-1=21} \\ \mathrm{p(-3)=(-3)^{80}+23 \cdot (-3)^{79}-(-3)^2-(-3)-1} \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ = -20 \cdot 3^{79}-7}$
Disto, temos que:
$\\ \mathrm{r(1)=a\cdot 1 + b = a+b} \\ \mathrm{r(-3)=a \cdot (-3)+b = -3a+b}$
Igualando obtemos:
$\\ \begin{cases}\mathrm{a+b=21} \\ \mathrm{-3a+b=-20 \cdot 3^{79}-7} \end{cases} \\ \mathrm{\Rightarrow (a+b)-(-3a+b)=(21)-\left(-20 \cdot 3^{79}-7 \right )} \\ \mathrm{4a = 21 + 20 \cdot 3^{79}+7 \Rightarrow a = 7+5 \cdot 3^{79}} \\ \mathrm{ \Rightarrow b = 14-5 \cdot 3^{79}} \\ \boxed{\mathrm{r(x)=\left(7+5\cdot 3^{79} \right ) \cdot x + \left(14-5 \cdot 3^{79} \right )}}$
Então, jogando o valor de (1/2):
$\\ \mathrm{r\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(7+5\cdot 3^{79} \right ) \cdot \left(\dfrac{1}{2} \right ) + \left(14-5 \cdot 3^{79} \right )=} \\ \mathrm{ = \dfrac{35}{2}- \dfrac{5 \cdot 3^{79}}{2}=\dfrac{5}{2} \left(7 - 3^{79}\right)}$

Deu muito estranho essa resposta.
Creio que o polinômio p(x) seja:
$\\ \mathrm{p(x)=x^{80}+3 \cdot x^{79}-x^2-x-1}$
Consequentemente, obtemos:
$\\ \mathrm{p(1)=1=a+b} \\ \mathrm{p(-3)=-7=-3a+b} \\ \mathrm{Logo:} \\ \mathrm{\left[a+b \right ]-\left[-3a+b \right ]=\left[1 \right ]-\left[-7 \right ]} \\ \mathrm{a = 2 \Leftrightarrow b = -1} \\ \mathrm{r(x)=2x-1} \\ \mathrm{r\left(\dfrac{1}{2} \right )=2 \cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )-1 = 0}$

Creio que seja essa a resposta. Visto que se levarmos o enunciado ao pé da letra e considerarmos o 23, teremos a primeira resposta, o que não nos leva a nenhuma alternativa.

Polinômio.

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