Daqui a quantos anos o PIB será superior

por valeriasjs Qui 01 Out 2015, 17:47

Estima-se que o PIB de uma ilha, daqui a x anos, seja Y1 = 60000 . $e^{0,05x}$ unidades monetárias, em que x = 0 é o ano de 2014, x = 1 é o ano de 2015, e assim por diante. Estima-se também que o número de habitantes da ilha, daqui a x anos, seja Y2 = 10000 . $e^{0,04x}$ .
Daqui a quantos anos o PIB per capita (ou PIB por pessoa) será aproximadamente 50% superior ao de 2014?

A) 31
B) 26
C) 36
D) 41
E) 46

Utilize a tabela:
Daqui a quantos anos o PIB será superior 300cdqc

Daqui a quantos anos o PIB será superior 300cdqc

por **Elcioschin** Qui 01 Out 2015, 19:41

Para x = 0 ---> Y1 = 60 000 ---> Y2 = 10 000 ---> PIB/capita = 6

PIB/capita no futuro = 1,5.6 = 9

Y1/Y2 = 60 000.e^0,05.x/10 000.e^0,04.x

9 = 6.e^0,01.x ---> e^0,01.x = 1,5 ---> 0,01.x = ln1,5

Podemos fazer uma interpolação linear entre x = 1 e x = 2 ---> ln1,5 ~= (0,6931 - 0)/2 ~= 0,34655

0,01.x = 0,34655 ---> x ~= 35 anos ---> Alternativa C

por Tiber_Septim Sex 25 Out 2019, 12:52

Uma pequena correção na resposta acima:
Após realizares a operação 9=6e^0,01x
Terás 1,5=e^0,01x
Aplicando ln em ambos os lados: ln(1,5)= ln(e^0,01x)
Aplicando propriedades dos logarítmicos: ln(1,5)= ln(3)-ln(2) e ln(e^0,01x)= 0,01x*ln(e)
E, por fim, resolvendo: 1,0986 - 0,6931 = 0,01x*1
0,4055 = 0,01x
x = 40,55 ---> x ~= 41 anos. Alternativa D.

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