Polinômio II

Um polinômio P(x) tem a propreidade P(x) ≡ P(-x-1). Definindo um polinômio Q(x) ≡ P(f(x)), obtermos Q(x) ≡ Q(-x) quando f(x) for igual a:
a) x - 1/2
b) x + 1/2
c) -x - 1
d) x - 1
e) -x + 1

De Q(x) ≡ Q(-x), podemos concluir que Q é uma função par. Em outro caso não é possível.
Logo, como Q(x) ≡ P(f(x)), então P também é uma função par e satisfaz P(f(x))≡P(-f(x))
E como a primeira expressão mostra que P(x)≡P(-x-1) ---> P(f(x))=P(-f(x)-1)
E portanto, podemos dizer que se a função é par, então f(x)=x e -f(x) =-x - 1
Subtraindo as duas:
f(x)-[-f(x)] = x - [-x-1]
2f(x)= 2x - 1
f(x) = x - (1/2)

Eu entendi a solução, mas confesso que está confusa. Pelo que você escreveu, temos que simultaneamente f(x) = x e f(x) = x + 1? ----> x = x + 1 ----> 0 = 1? Estou cometendo algum engano grave aqui que não vejo?

Temos que:
P(0)=P(-0-1)=P(-1)
P(-2)=P(-(-2)-1)=P(1)
P(-3)=P(-(-3)-1)=P(2)
Poderiamos então dizer que o polinômio é reflexivo em relação à reta x= - 0,5.
Um exemplo de função que satisfaz essa condição é (x+0,5)².
Agora, se Q(x)=P(f(x)), e queremos Q(x)=Q(-x), então Q(x) é uma função par, o que indica que a função P também é uma função par.
Por isso, podemos presumir que é simétrico em relação ao eixo X.
Se fizermos a função x²(x+0,5)², teremos uma função par, contudo, não teremos uma função simétrica em relação à reta x=1.
Por isso, ao sempre colocarmos uma curva simétrica, teremos que compensar no outro.
A unica função que vejo que acontece isso é b + a . cos²(2pi x) ou b+a . sen²(2pi x)

Não sei se ajuda. Mas a primeira resposta fiz errada.