(ITA) Expoente n do número complexo

por Carolziiinhaaah Qui 11 Nov 2010, 19:18

Sabendo que $n\; \epsilon \; N$ tal que $\frac{(\sqrt{3} + i)^{n}}{3i}$ é um número real, calcule n.

gabarito: $n = 3. (2k+1); \; k\; \epsilon \; N$

por **Elcioschin** Qui 11 Nov 2010, 19:39

(V3 + i) = 2*(V3/2 + i/2) = 2*[cos(pi/6) + i*sen(pi/6)]

(V3 + i)^n = 2^n*[cos(pi/6) + i*sen(pi/6)]^n

(V3 + i)^n = 2^n*[cos(n*pi/6) + i*sen(n*pi/6)]

[(V3 + i)^n]/3i = 2^n*[cos(n*pi/6) + i*sen(n*pi/6)]/3i

Para se ter um número real ----> cos(n*pi/6) = 0 -----> O ângulo deve ser pi/2 ou 3pi/2

n*pi/6 = k*pi + pi/2 -----> n/6 = k + 1/2 ----> n = 6k + 3 -----> n = 3*(2k + 1)