Retângulo inscrito em uma elipse

por Marcos Vinicius98 Sex 25 Set 2015, 15:22

Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação Retângulo inscrito em uma elipse LpEVCQqPAJeVpKloAQsSewACOwOhbh8LCT4AaW4Mv8DAp3OsAAyvEsgMtpDBAcHDry2yw6qGrAPIR6gITKMVagAGeNarFArdKeS8ddu3SJcB7h8EwfbVFIchAwr9nQe0gMSi8W3CLgXFyulD1aghgCzoBPSbd6IglQY6npRDI6ARAWYX5fB5cLWx5Bc73QRoNMmyhoAEGFt2iAAAOw==

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por **Elcioschin** Seg 28 Set 2015, 23:59

S = (2.x).)2.y) ---> S = (2.x).[2.√(1 - 2.x²)] ---> S = 4.x.(1 - 2.x²)^1/2

Derive, iguale a derivada a zero e calcule x. Depois calcule y.

por **Medeiros** Ter 29 Set 2015, 03:35

Eu procurei uma resposta SEM derivar mas não consegui.

por **Elcioschin** Qua 30 Set 2015, 11:40

Uma solução sem derivar:

Queremos os valores de x, y que resultem em área máxima S
Sendo S máxima, S² também será máxima:

S² = 16.x².(1 - 2.x²) ---> S² = - 32.(x²)² + 16.(x²)

Temos uma função do 2º grau na variável x². O valor máximo ocorre no vértice da parábola:

xV² = - b/2.a ---> xV² = - 16./2.(-32) ---> xV² = 1/4 ---> xV = 1/2

yV² = 1 - 2.xV² ---> yV² = 1 - 2.(1/4) ---> yV² = 1/2 ---> yV = √2/2

por **Medeiros** Qui 01 Out 2015, 01:16

Genial, Élcio!!!
Foi justamente aí, ao tentar me desfazer da raiz, que eu havia empatado. Não tive a ideia simples -- e por isso brilhante -- de elevar ao quadrado toda a área.

Apenas reforçando que as medidas dos lados solicitada pela questão serão 2.xV e 2.yV.

Obrigado.

por Mikasa.Ackerman Ter 19 Mar 2019, 22:28

por que não mexeu no x^4?

por **Elcioschin** Qua 20 Mar 2019, 11:42

O que você quer dizer com "não mexeu no x^4" ?

Temos a função S² = -32.(x²)² + 16.(x²)

Fazendo x² = z ---> S² = - 32.z² + 16.z

Temos uma função do 2º grau: parábola com a concavidade voltada para baixo (a = - 32)

zV = - b/2.a ---> zV = - 16/2.(-32) ---> zV = 1/4 ---> xV² = 1/4 --> xV = 1/2

Na minha resolução eu fiz diretamente, sem usar o z