[Escola Naval - 2015 - Número complexos]

por RamonLucas Dom 06 Set 2015, 19:48

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Amarela. Questão 14)

Considere os números complexos da forma $z_{n}=\rho \, cis\left ( (17-n).\frac{\pi }{50} \right )$ , com $n\, \epsilon \, \mathbb{N}^{*}$ . O menor número natural m, tal que o produto Z₁,Z₂.....Z_n é um número real positivo, é igual a

(A) 8
(B) 16
(C) 25
(D) 33
(E) 50

por **Carlos Adir** Dom 06 Set 2015, 20:06

$\\ \mathrm{z_1 = p \cdot cis \left[(17-1) \dfrac{\pi}{50} \right ]} \\ \mathrm{z_2 = p \cdot cis \left[(17-2) \dfrac{\pi}{50} \right ]} \\ \mathrm{\cdots} \\ \mathrm{z_n=p \cdot cis \left[(17-n) \dfrac{\pi}{50} \right ]} \\ \mathrm{S=z_1 \times z_2 \times \cdots \times z_n =} \\ \mathrm{=p^{n} \cdot cis \left[\dfrac{\pi}{50} \left(17-1+17-2+\cdots+17-n \right ) \right ]} \\ \mathrm{= p^{n} \cdot cis \left[\dfrac{\pi}{50} \left(17n - (1+2+\cdots+n) \right ) \right ]} \\ \mathrm{=p^{n} \cdot cis \left[\dfrac{\pi}{50}\left(17n - \dfrac{n(n+1)}{2} \right ) \right ]}$
$\\ \mathrm{=p^{n} \cdot cis \left[\dfrac{n\pi(33-n)}{100} \right ]}$
Como o número é um real, então a parte imaginária é nula, logo:
$\\ \mathrm{sen \left[\dfrac{n\pi(33-n)}{100} \right ] = 0 \Rightarrow \dfrac{n\pi(33-n)}{100} = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{n^2-33n+100k=0 \Rightarrow n = \dfrac{33 \pm \sqrt{1089-400k}}{2}} \\ \mathrm{Como \ n \ existe, \ k \le 2}$
Se n é natural, então podemos perceber que o valor dentro da raiz deve ser um quadrado perfeito.
Ao colocar k=1, percebemos que não dá. Se k=2, percebemos que 1089-400 . 2 = 289 = 17²
Logo, admitindo k =2:
$\\ \mathrm{k = 2 \Rightarrow n = \dfrac{33 \pm 17}{2} \Rightarrow n = 8}$
Podemos perceber que não existe qualquer outro valor para K tal que o valor dentro da raiz seja um quadrado perfeito.(verifique isso).
Logo, a única resposta é a letra (A)

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