Prove que para todo inteiro n

por jose roberto Seg 01 Nov 2010, 21:10

Prove que para todo inteiro n, n elevado a 7 menos n é divisível
por 7. Very Happy

por DouglasM Seg 01 Nov 2010, 23:33

Considerando $P(n)=n^7-n$ faremos a demonstração em dois passos:

1 - Demonstrar que para algum valor de n (no caso n=1), é valida a proposição 7 | P(n);

2 - Demonstrar que 7 | {P(n+1) - P(n)}.

Vemos que a afirmação é verdadeira para n=1, pois P(1) = 0 e 7 | 0 .

Agora vamos demonstrar que 7 | {P(n+1) - P(n)}:

$P(n+1)-P(n)=(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) \;\therefore$

$P(n+1)-P(n)=(n+1)^7 - n^7 - 1 \;\therefore$

$P(n+1)-P(n)= (n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1) - n^7 - 1 \;\therefore$

$P(n+1)-P(n)= 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n) = 7.D(n) \;\therefore$

Está demonstrado que a diferença entre dois valores de n consecutivos é divisível por 7.

Finalmente, sendo a proposição válida para n=1, por indução, temos:

$P(2)=P(1)+7.D(1)\;;\; P(3)= P(2)+7.D(2)\;;\;(...)\;;P(n+1)= P(n)+7.D(n)$

Até a próxima.

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