Quadriláteros.

Sejam ABCD um quadrado, ABP um triângulo equilátero interior e BCQ um triângulo equilátero exterior. Calcule o ângulo  agudo D^PQ.


GABARITO: 180º

Calcule o ângulo agudo D^PQ ---> D^PQ = 180º ?????

Desde quando 180º é um ângulo agudo ???

Realmente, por incrível que pareça é assim que está na questão, se desconsideramos esse erro na enunciação do problema, dá pra progredirmos com o cálculo Elcioschin?

Apaguemos então a palavra agudo

Seja 1 o lado do quadrado (apenas para facilitar as contas)

Desenhe o quadrado num sistema xOy com A na origem: A(0,0), B(1, 0), C(1, 1) e D(0, 1).

Seja M o ponto médio de AB ---> M(1/2, 0)

Desenhe também o triângulo equilátero ABP com altura MP = √3/2 ---> P(1/2, √ 3/2)

PÂB = 60º ---> PÂD = 30º

No triângulo APD ---> AP = AD = 1 ---> triângulo isósceles ---> A^DP = A^PD = 75º

C^DP = 90º - 75º ---> C^DP = 15º ---> Inclinação negativa da reta DP

Coeficiente angular de DP ---> m = - tg15º ---> m = - (2 - √3)

Desenhe o triângulo equilátero BCQ ---> Ponto Q ---> yQ = 1/2 ---> Una PQ

Seja Q' o pé da perpendicular de Q sobre MP ---> PQ' = MP - yQ ---> PQ' = √3/2 - 1/2 --->

PQ' = (√3 - 1)/2

Q'Q = 1/2 + √3/2 ---> Q'Q = (√3 + 1)/2  

Coeficiente angular negativo da reta PQ ---> m' = - PQ'/Q'Q ---> m' = (√3 - 1)/(√3 + 1)

m' = - (2 - √3)

Como m = m' as retas são colineares ---> D^PQ = 180º

Tirando o erro do enunciado, fico agradecido pela resolução!!

Outro modo:

Obrigado pelo acréscimo Raimundo