Dúvida - Visão Geométria do Produto Escalar

Olá pessoal, tudo bem?

É o seguinte, de acordo com vários livros o produto escalar é

"Projeção de U em V" = [ u.v / (|v²|) ]. v"

u,v = vetores(não sei como colocar a setinha em cima)
|v| = Módulo do vetor.

Mas eu não entendi uma coisa, o produto escalar é comutativo, portanto, (u.v.).v=(v.v)u
E     v.v  = |v|² 
então, poderíamos dividir  o |v|²/|v|² e teríamos que a "Projeção de U em V" = u


Simplesmente igual ao vetor "u". 

 Obviamente, isso não ocorre, mas eu quero saber o porquê.

Alguém poderia me audar?




Obrigado desde já!

Olá!

Tem algumas confusões aí. O que você descreveu como produto escalar é, na verdade, a projeção de um vetor, algebricamente, a qual se utiliza do produto escalar.

Outra confusão: você usou a comutatividade para fazer (u.v).v

Acontece que a primeira operação é uma operação de produto escalar u∙v = <u, v> = "u escalar v", e está sendo dividida pela norma do vetor sobre o qual está sendo feita a projeção. 

Isso resulta em um número real, e este sim deve ser multiplicado pelo vetor v.

Então, a Projeção de v sobre u é [(v∙u)/(||u||²)] . u
sendo [(v∙u)/(||u||²)] o número resultante desta operação que multiplicará o vetor u.

Então, a projeção é um vetor, que terá a mesma direção do vetor sobre o qual estamos projetando, e a diferença entre o vetor projetado e a projeção é um vetor ortogonal ao vetor sobre o qual foi feita a projeção.

Em símbolos, projetar v sobre u resulta num vetor p, com mesma direção de u, de modo que o vetor (v − p) é ortogonal ao vetor u.

O produto escalar é relacionado ao ângulo existente entre os vetores v e u.



Abraços!





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Caro trindadde,

obrigado pela resposta clara e completa.
Só me restam duas dúvidas(perdoe-me por minha estupidez).

1 - Então a operação escalar, definida pelo símbolo . ou (u,v) nada tem a ver com a multiplicação? Quero dizer, somente o símbolo " .  "  é similar?

2 -Não podemos fazer o produto escalar de três vetores como u.v.t certo??



A partir de agora só vou utilizar < , > para não confundir com a multiplicação.

Olá!

Estamos aqui para ajudar uns aos outros


1. Isso, somente o símbolo é similar.
2. Como o produto escalar relaciona, por definição, a medida angular entre 2 vetores, creio que não exista produto escalar entre 3 ou mais vetores.

Abraços!



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Obrigado mais uma vez! @Trindadde