(FGV-SP–2007) A figura indica a representação

(FGV-SP–2007)    A    figura    indica    a    representação    dos    números Z1 e Z2 no plano complexo.



Se Z1.Z2 = a + bi, então a + b é igual a A) 4(1 – √3)    B) 2(√3 – 1)    C) 2(1 + √3) D)    8(√3 – 1) E) 4(√3 + 1)

Bom, fiz o seguinte:

Z1=2√3 + 2i
Argumento de Z1 -> tg θ =2/2√3 -> θ=30º

Com o argumento de Z1, calculamos facilmente o argumento de Z2= 30º+90º=120º

Z2=2.cis(120º)

Z2=2.(-1/2  + i√3/2)= -1 + √3i

Bom agora é só multiplicar os dois complexos.

Z1.Z2=(2√3+2i).(1-√3i)= 4(1-√3)

Pronto!

Só não entendi essa parte

´Com o argumento de Z1, calculamos facilmente o argumento de Z2= 30º+90º=120º

Z2=2.cis(120º)

Bom o argumento de Z1 é o ângulo formado entre a ''semirreta de Z1'' com o eixo dos números reais, correto?
Chamei esse argumento de θ. Fiz tg θ no ''triângulo formado por Z1 com o eixo dos números reais''

Daí descobri o valor de θ = 30.

O argumento de Z2 será mesma coisa, ou seja, o mesmo procedimento. Será o valor do ângulo formado pela ''semirreta'' de Z2 com o eixo dos números reais (Re).
Ué esse novo ângulo será os 90 + θ (veja a figura), e θ =30, logo o argumento de Z2=120.

A fórmula trigonométrica de um número complexo é:



Temos já o valor de p (rô) = 2 (é o módulo do numero complexo, que já foi dado no gráfico do exercício)

O argumento de Z2 já temos que é 120.

E coloquei na fórmula acima.

Entendeu?

Obs: cisθ é uma abreviação para cosθ +isenθ, ok?!

Obrigado_TNY_! Entendi agora.

Que bom!