Numerar as faces de um poliedro

De quantos modos podemos numeras as faces iguais de um:

a) tetraedro regular, com números de 1 a 4
b) octaedro regular, com números de 1 a 8
c) dodecaedro regular, com números de 1 a 12
d) icosaedro regular, com números de 1 a 20
e) prisma pentagonal regular, com números de 1 a 10
f) pirâmide quadrangular regular com números de 1 a 5

Permute tudo.

Permutar tudo... Poderia ser mais específico, mestre?

a) tetraedro regular, com números de 1 a 4 --> 4!
b) octaedro regular, com números de 1 a 8 --> 8!
c) dodecaedro regular, com números de 1 a 12 --> 12!
d) icosaedro regular, com números de 1 a 20 ....
e) prisma pentagonal regular, com números de 1 a 10 ....
f) pirâmide quadrangular regular com números de 1 a 5 ....

Não teria uma combinação circular aí não?

telogomes escreveu:Não teria uma combinação circular aí não?

Pode ser... essa não é a "minha praia"

Acho que a letra a seria o seguinte:
Há uma face virada para baixo em um tetraedro, portanto, o número dela já está determinado. Então basta fazer uma permutação circular de 3 para as 3 faces restantes. Logo: PC(3) = 3!/3 = 2

Mas as outras não sei. Não basta só permutar as faces, pois temos que levar em conta que podemos "mexer" o objeto.

Olá
a) Está bem:há 2 maneiras possíveis: o raciocínio que segui foi esse- a face voltada para baixo (uma qualquer) pode ter o nº 1; para as outras três faces temos permutações circulares dos 3 números restantes. O número de permutações circulares de n elementos distintos é (n-1)!.Daí temos 2!=2.
b)octaedro regular. Segui o seguinte raciocínio: pomos uma face virada para baixo (com o número 1). Para as outras 3 faces que têm uma aresta comum com aquela face, teremos de escolher 3 dos 7 números que restam, ou seja C(7;3). Mas, tal como em a), os três números dispõem-se entre si de 2!=2 permutações circulares. Dai termos já C(7;3)*2=35*2=70.
Para as outras 4 faces do octaedro, temos 4 números disponíveis, ou seja há 4!=24 modos de os dispôr. TOTAL=70*24=1680.
NOTA: Para poliedros regulares parece haver uma fórmula que nos dá o número de modos de numerar as faces: (F-1)!/n, em que F é o nº de faces e n o número de arestas de uma face, mas não sei ainda como se chega a essa fórmula.
Por exemplo em c) teríamos 11!/5=7983360. Eu cheguei a este número sem utilizar a fórmula, seguindo um raciocínio idêntico ao que segui em b).
Um abraço.

parofi escreveu:Olá
a) Está bem:há 2 maneiras possíveis: o raciocínio que segui foi esse- a face voltada para baixo (uma qualquer) pode ter o nº 1; para as outras três faces temos permutações circulares dos 3 números restantes. O número de permutações circulares de n elementos distintos é (n-1)!.Daí temos 2!=2.
b)octaedro regular. Segui o seguinte raciocínio: pomos uma face virada para baixo (com o número 1). Para as outras 3 faces que têm uma aresta comum com aquela face, teremos de escolher 3 dos 7 números que restam, ou seja C(7;3). Mas, tal como em a), os três números dispõem-se entre si de 2!=2 permutações circulares. Dai termos já C(7;3)*2=35*2=70.
Para as outras 4 faces do octaedro, temos 4 números disponíveis, ou seja há 4!=24 modos de os dispôr. TOTAL=70*24=1680.
NOTA: Para poliedros regulares parece haver uma fórmula que nos dá o número de modos de numerar as faces: (F-1)!/n, em que F é o nº de faces e n o número de arestas de uma face, mas não sei ainda como se chega a essa fórmula.
Por exemplo em c) teríamos 11!/5=7983360. Eu cheguei a este número sem utilizar a fórmula, seguindo um raciocínio idêntico ao que segui em b).
Um abraço.

Havia esquecido de postar o gabarito. Pois aqui está:


Gabarito:
a) 2
b) 1680
c) 7983360
d) 19!/3
e) 630
f) 30


O seu método está dando certo. Vou tentar fazer com os outros. 
Valeu!