(AFA) geo. analítica

No plano cartesiano, a circunferência W de equação x² + y² -6x +10y + k = 0, com k pertencente aos reais, determina nos eixos das ordenadas uma corda de comprimento L = 8.
Dessa forma é correto afirmar que:
a) W é tangente ao eixo Ox.
b) O raio de W é igual a  √k
c) P(k,-1) pertence a W.
d) W é secante à reta x = k.

resposta (a)

alguém poderia fazer ela? não consegui chegar a letra (a).

Reduzindo a equação de W chegaremos a seguinte equação reduzida:



De posse dessas informações, vamos para a parte final da questão.

Usando o fato da circunferência formar, com o eixo y, uma corda de comprimento igual a 8 e sabendo que o segmento partindo do centro da circunferência até a corda corta a corda no seu ponto médio e corta perpendicularmente. Assim, teremos um triângulo formado pela corda e o raio da circunferência.

Além disso, temos que a altura desse triângulo será justamente a distância do centro da circunferência até a corda que será 3 e o cateto medirá 4, pois é a metade da corda e a hipotenusa é o raio.

Portanto, pelo teorema de pitágoras teremos:

R² = 4² + 3² = 25

Sabendo que o raio é dado pela equação inicial da circunferência por R² = 34-k, então temos que:

34-k = 25 => k=9

Ou seja, R² = 34-9 => R²=25 => R=5

Como a circunferência está centrada no ponto C(3,-5) e como o raio é R=5, então ela tangenciará o eixo OX.

Mais ou menos o esboço do que eu falei acima:

Um esbôço sempre ajuda a ver. O centro da circunferência é facilmente encontrado O(-3,5). A figura abaixo permite calcular o raio rapidamente e, portanto, definir a questão:

opa, Obrigado aos dois !!