Inequação logarítmica

por Convidado Qua 17 Jun 2015, 22:38

Resolva a inequação: Log (2x²) na base x+1 >2

Resposta: S={X ∈ ℝ/ x> 1+ $\sqrt{2}$ }

A minha dúvida e como trabalhar com uma inequação, onde não sabemos o valor da base.

por **Elcioschin** Qui 18 Jun 2015, 10:55

log_x+1(2x²) > 2

Condições de existência:

1) x + 1 > 0 ---> x > - 1
2) x + 1 ≠ 1 ---> x ≠ 0
3) 2x² > 0 ---> x ≠ 0

Propriedade básica de logaritmos: log_ba = n ---> a = bⁿ

Se x > 0 ---> a base x + 1 > 1, logo ---> 2x² > (x + 1)² ---> 2x² > x² + 2x + 1 > 0 ---> x² - 2x - 1 > 0

Raízes ---> x = 1 - √2 ~= - 0,41 (não serve pois x > 0) e x = 1 + √2

A função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, logo ela é positiva externamente às raízes:

x > 1 + √2

por Convidado Qui 18 Jun 2015, 20:45

Olá Elcioschin! Quando eu tentava resolver essa questão, na minha condição de existência eu fazia que 2x²>0 para qualquer x pertencente aos reais. Pois 2x²>0, não será sempre maior que zero para qualquer valor de x? Porque você admitiu apenas x>0?

por **Elcioschin** Qui 18 Jun 2015, 22:27

Lucas

Você está certo: a 3ª condição de existência é x ≠ 0
Já editei minha solução original (em vermelho)

por Convidado Qui 18 Jun 2015, 23:32

Muito obrigado Elcioschin! Então, em questões como essa o ideal será fazer a condição de existência e após isso, resolver normal a inequação, mas obedecendo a condição de existência? Se for assim, então está tranquilo!
A minha dúvida antes de ver sua resolução, era que eu não conseguia resolver simular como a minha apostila faz em uma questão parecida com essa.
Inequação logarítmica M3669

por **Elcioschin** Sex 19 Jun 2015, 09:59

Lucas

Em qualquer problema, principalmente envolvendo logaritmos, radicandos de radical par e incógnitas no denominador, a primeira coisa a se fazer é SEMPPRE estabelecer a condição de existência.

Depois resolve-se a questão, calcula-se o intervalos da solução e compara-se com a condição de existência para definir o intervalo final.

Ainda aconselho a testar algum valor do intervalo e valores fora do intervalo, na equação inicial, para ver se dá certo.