Retas no plano

Dadas as retas

e

Determinar valores de a , de modo que as retas r e s pertençam a um mesmo plano. Neste caso determine a equação deste plano.

Vou arriscar....

temos:

....x = - t + 1
r:.y = t - 1
...z = t

....x = 2t + 4
s:.y = - t + a
...z = - 5t - 6
.................................................................................................->
de r temos: reta passa pelo1) ponto A(1, - 1, 0 ) e tem a direção do vetor u = ( - 1, 1, 1 )
....................................................................................................->
de s temos: reta passando pelo ponto B( 4, a, - 6 ) e tem direção do vetor v = (2, -1, - 5 )

A condição de coplanaridade -> o produto misto deve ser igual a zero.

daí:

seja o vetor AB = (, 0, - 6 )

......................|- 1..........1........1..|
( u x v x AB ) = |2......... - 1..... - 5..|
......................|3....... (a+1).....- 6..|

= - 6 - 15 + 2(a+1) + 3 + 12 - 5(a+1) = 0

- 3a - 9 = 0 => a = - 1


Obtenção de um terceiro ponto C:

fazendo t = 1 em r:

C( 0, 0, 1 )

Então:

AB = ( 3, 0, - 6 )

AC = ( - 1, 1, 1 )

obtenção de um vetor normal ao plano:

........................|i..........j.........k..|
n = ( AB x AC ) = |3........0........- 6.| = ( 6 i, - 9 j, 3 k )
........................|- 1......1........1...|

n = ( 6, - 9, 3 )

Equação do plano que passa por um ponto com vetor normal n = ( 6, - 9, 3 ):

seja o ponto A -> 6*( x - 1 ) - 9*(y + 1 ) + 3*( z - 0 ) = 0

6x - 6 - 9y - 9 + 3z = 0

6x - 9y + 3z - 15 = 0

2x - 3y + z - 5 = 0