O caminho da formiga

por **Elcioschin** Qua 10 Jun 2015, 11:00

Para os iniciantes se divertirem:

Seja um cone reto, maciço, de mármore, apoiado sobre a base num piso horizontal de granito, de raio r = 3 m e altura h = 3.√3 m
Sobre a circunferência da base do cone existem os pontos F e A, diametralmente opostos, sendo F um formigueiro e A um depósito de açúcar.
Uma formiga inteligente, usuária frequente do PIR2, planeja coletar açúcar, e, para isto, pretende descobrir qual é o caminho mínimo, de modo a ensinar isto para todas as suas colegas.
O caminho mínimo que ela descobriu, usando os conhecimentos de Geometria Plana e Espacial, aprendidos no fórum, vale, em metros:

a) 6.pi
b) 3.pi
c) 6
d) 6.√3
e) 6.√2

por **Carlos Adir** Qua 10 Jun 2015, 12:39

kk Essas questões de formigas me lembram muito bem a OBMEP.

Mestre Elcio, devo considerar apenas ida, ou ida e volta?

Fiz as contas e na ida deu 6√2.

por **Elcioschin** Qua 10 Jun 2015, 12:59

É só na ida (e o interessante é que existem dois caminhos mínimos: um pode servir para a ida e outro para a volta, para que as formigas não trombem entre si).

Acho que você deve ter cometido um errinho de conta.
Mas vamos deixar os iniciantes tentarem!!!

por **Carlos Adir** Qua 10 Jun 2015, 13:07

Mestre Elcio, ainda persisto com a resposta. Os únicos resultados possíveis seriam a ou b, visto que 3√2, ou 3√3 são sempre menores que 6, que equivale à distância em linha reta. E 6 seria o próprio diâmetro.
Poderia verificar as alternativas pra mim por favor?

por **Elcioschin** Qui 11 Jun 2015, 11:38

Carlos

A distância 6 em linha reta equivale ao diâmetro da base do cone; este caminho é impossível, pois não existe espaço ente a base do cone e o piso de granito. Ou a formiga anda somente pelo piso, ou somente pelo cone, ou uma parte pelo piso e uma parte pelo plano.

Em uma coisa você tem absoluta razão: a menor distância entre dois pontos, no plano, é uma linha reta. E nisto reside a beleza do problema, tão brilhantemente provado pela formiga do PR2.

As alternativas estão certas.

Vamos aguardar outros colegas do fórum opinarem.

por **Elcioschin** Sex 12 Jun 2015, 10:49

Carlos

Mil desculpas!!! Você está coberto de razão!

Lendo as suas mensagens eu não atentei para as suas ponderações. Hoje, relendo com mais calma, percebi o meu erro:

Ao fazer as contas descobri que o caminho mínimo era √2.raio. Só que era o raio do setor circular que gera o cone (R = 6) e não o raio da base do cone r = 3

Isto porque R = geratriz do cone ---> g² = 3² + (3.√3)² --> g = 6 ----> R = 6

Assim, vou editar as alternativas D e E (em vermelho)

por **Medeiros** Sex 12 Jun 2015, 12:36

Eu também considero a resposta do Carlos Adir correta ao nível do Ensino Médio.

Não obstante minha formiginha, calculando a integral de linha sobre uma parábola, achou um caminho de aproximadamente 8,28 m, pouca coisa mais curto, portanto, que 6*raiz(2) m. Infelizmente a resposta dela não tem uma apresentação elegante como as alternativas e inclui arcsenh(V3).

Minha formiguinha é muito burra. Primeiro ela calculou conforme feito pelo Carlos Adir. Depois cortou o cone por um plano a 30º com a base e achou que dava uma parábola. Agora ela já acha que é um semi-elipse. Amanhã ela voltará para a prancheta -- até aprender.

(EDITADO)