(UnB-CESPE-BASA) Sistema de Equações

por **alansilva** Qui 04 Jun 2015, 19:43

Considere x, y e z números reais que satisfazem o seguinte sistema de equações.
x-y+2z=1
x-3y+5z=-1
-x-y+z=-3

Com relação a esse sistema, assinale a opção correta.
A) O sistema tem infinitas soluções, ou seja, é indeterminado;
B) O sistema não tem solução, ou seja, é impossível;
C) O sistema tem uma única solução;
D) O sistema tem exatamente duas soluções;
E) Se o terno de números reais (x, y, z) é solução do sistema, então z (UnB-CESPE-BASA) Sistema de Equações 9XV1crKylRUVAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAQABcAAAM2CLoM1HCJFyERtQUSMpsec4UKSDrYSUVE2w6D22YrWYd3I8PyzJ4Aky0VEuKInk2HZPSMVKQEADsAAAAAAAAAAAA=

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0

Não entendi o gabarito, pois achei três soluções e então acho a letra E a resposta correta.

por **Elcioschin** Qui 04 Jun 2015, 19:54

Nem nós podemos entender o que você não entendeu, pois você não postou a sua solução (completa)

por **alansilva** Qui 04 Jun 2015, 19:56

Ok
Eu fiz o sistema por método das substituições e achei
x=2, y=1 e z=0

por **Carlos Adir** Qui 04 Jun 2015, 19:58

Uma maneira é colocar em uma matriz e escalonar:
$\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 3 & -2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}2 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -3 & 2 \end{bmatrix}$
Podemos reescrever então:
$\begin{cases} \mathrm{2x + 0y + z = 4} \\ \mathrm{0x+2y-3z=2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{x = \dfrac{-z}{2} + 2} \\ \mathrm{y = \dfrac{3z}{2} + 1} \end{cases}$
Ou seja, existem infinitas soluções.

Por exemplo, podemos ter a solução:
(1, 4, 2)
E veja que satisfaz as 3 equações
Outra que podemos ter é (0, 7, 4)

por **Elcioschin** Qui 04 Jun 2015, 20:23

Alansilva

Você não postou a sua solução completa como eu solicitei: postou só o resultado!

Assim fazendo não podemos dizer onde você errou!

por **alansilva** Qui 04 Jun 2015, 23:50

x-y+2z=1
x-3y+5z=-1
-x-y+z=-3

Método da substituição
x+2z-1=y

x-3(x+2z-1)+5z=-1
-x-(x+2z-1)+z=-3

Assim vai achar z=0, x=2 e y=1
(2,1,0)

Fiz também por solução de sistemas lineares através da Regra de Cramer.

Onde NÃO vou utilizar matrizes aqui pois é muito trabalhoso e também não sei usar tex para matrizes e determinantes.

Resolvendo através da Regra de Cremer, acha-se as soluções para D=0, Dx=0, Dy=0 e Dz=0, provando assim ser um sistema indeterminado.

Eu errei em dizer que seria a letra E, mas como z=0 e na letra E diz z≠0, faz com que a alternativa seja errada.

Agora fico em dúvida se é mesmo letra A ou B. Já que o gabarito considerou letra B como certa, pois acho que consideraram que nenhum número pode ser dividido por zero.

Questão confusa Sad

por **Elcioschin** Sex 05 Jun 2015, 16:12

Sua solução está errada:

Método da substituição
x+2z-1=y ---> OK

x-3(x+2z-1)+5z=-1 ---> - 2x - 6z + 3 + 5z = - 1 ---> z = 4 - 2x

-x-(x+2z-1)+z=-3 ---> - x - x - 2z + 1 + z = - 3 ---> z = 4 - 2x

Assim vai achar z=0, x=2 e y=1
(2,1,0)

Não vai achar não: note que temos duas equações iguais z = 4 - 2x e uma equação y = x + 2z - 1

Assim temos apenas DUAS equações e TRÊS incógnitas.
Como é então que você chegou na solução (2, 1, 0)? Só existe um meio: escolhendo um valor qualquer para x, y ou z e calculando os outros. Então você NÃO calculou os valores: você escolheu ao acaso.

Aceite um conselho: calcule os determinantes, é muito mais fácil!

por **alansilva** Sex 05 Jun 2015, 17:22

Eu fiz e nao percebi o erro . Pelo horario ja estava com sono. Mas isso mesmo, duas equaçoes, deixa indeterminado. De qualquer forma o gabarito esta errado, informando ser um sistema IMPOSSÍVEL
Esta é minha conclusao.