Equação trigonométrica

por viniciusdenucci Ter 02 Jun 2015, 09:30

Resolva em R: sen 15 + sen x = sen 75

por **Carlos Adir** Ter 02 Jun 2015, 09:49

$\\ \mathrm{Protasferese:} \\ \mathrm{sen \ x+y - sen \ x-y = 2 \cdot sen \ y \cdot cos \ x} \\ \mathrm{sen \ a - sen \ b = 2 \cdot sen \ \dfrac{a-b}{2} \cdot \cos \dfrac{a+b}{2}}$

$\\ \mathrm{sen \ x = sen \ 75^o - sen \ 15^o} \\ \mathrm{sen \ x = 2 \cdot sen \ \dfrac{75^o - 15^o}{2} \cdot \cos \dfrac{75^o+ 15^o}{2}} \\ \mathrm{sen \ x = 2 \cdot sen \ 30^o \cdot \cos 45^o} \\ \mathrm{sen \ x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

Assim:

$\mathrm{ x = \pm \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2} + 2k \pi ; \ \ \ k \in \mathbb{Z}}$

por viniciusdenucci Ter 02 Jun 2015, 11:02

Entendi, valeu!!

por **Elcioschin** Ter 02 Jun 2015, 11:17

Outro modo, sem prostaférese:

sen15º = sen(45º - 30º) = sen45º.cos30º - sen30.cos45º --->

sen15º = (√2/2).(√3/2) - (1/2).(√2/2) = (√6 - √2)/4

De modo similar ---> cos15º = (√6 + √2)/4

sen15º + senx = sen75º ---> sen15º + senx = cos15º ---> senx = cos15º - sen15º

senx = (√6 + √2)/4 - (√6 - √2)/2 ---> senx = √2/2

por **Carlos Adir** Ter 02 Jun 2015, 13:00

Mais outro modo:
$\\ \mathrm{S=a \cdot sen \ x + b \cdot cos \ x } \\ \mathrm{S= \sqrt{a^2+b^2} \left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot sen \ x + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \cos x \right )} \\ \mathrm{\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a} \right ) } \\ \mathrm{S= \sqrt{a^2+b^2} \left(\cos \theta \cdot sen \ x + sen \ \theta \cdot \cos x \right )} \\ \mathrm{S= \sqrt{a^2+b^2} \cdot sen \left( x+\theta \right )}$
Assim:
$\\ \mathrm{sen \ 15^o + sen \ x = sen \ 75^o} \\ \mathrm{sen \ x = - sen \ 15^o+cos \ 15^o} \\ \mathrm{sen \ x = \sqrt{(-1)^2+(1)^2} \cdot sen \left(15^o + \theta \right )} \\ \mathrm{\theta = \arctan \dfrac{1}{-1}= \arctan (-1) = 135^o} \\ \mathrm{sen \ x = \sqrt{2} \cdot sen \left(15^o + 135^o \right )} \\ \mathrm{sen \ x = \sqrt{2} \cdot sen \ 150^o = \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}}$

Ficou longo, mas tá passo a passo. Se tiver o costume sai bem rápido.

por viniciusdenucci Qua 03 Jun 2015, 12:04

Élcio, obrigado pela resolução sem protasférese, sempre bom ter algum caminho extra para resolver questões.
Carlos, função arco-tangente só aprendo no próximo capítulo do livro, mas dou uma olhada assim que aprender. Obrigado novamente.