(Ufba) Em trigonometria, é verdade:

por Jeni Seg 01 Jun 2015, 08:05

(01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro
quadrante, então cos (x/2) = -1/5.
(02) se x + y = pi/3, então cos(3x - 3y) = 2 sen^2 3y - 1.
(04) Existe x E [pi/4, 5pi/2], tal que sen^2 x + 3 cosx =
3.
(08) A função inversa de f(x) = cos é g(x) = sec x.
(16) Num triângulo, a razão entre dois de seus lados
é 2, e o ângulo por eles formado mede 60°; então o
triângulo é retângulo.

Soma (2+4+16=22)
>>>>>>>>>>>>>>>>>se puderem explicar só algumas eu já agradeço Surprised

por **Carlos Adir** Seg 01 Jun 2015, 09:26

$\\ \mathrm{Pelo \ enunciado \ sen \ x = \dfrac{-4}{5}, \ x \in \left[\pi, \ \dfrac{3\pi}{2} \right ]} \\ \mathrm{E \ vale \ lembrar: \ \cos^2 \dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\cos x}{2}} \\ \mathrm{Descobrimos \ por \ sen^2 x+\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \dfrac{-3}{5}} \\ \mathrm{Logo, \ \cos^2 \dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\dfrac{-3}{5}}{2}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}}$
01) Errado

$\\ \mathrm{\cos \left(3x-3y \right )=2 sen^2 \ 3y -1 \Leftarrow Confuso} \\ \mathrm{O \ correto\ \'e \ qual?} \\ \mathrm{\cos \left(3x-3y \right )=2sen^2 \left(3y \right )-1} \\ \mathrm{\cos\left(3x-3y \right )=2 sen^2 \left(3y-1 \right )}$

04) Podemos simplesmente verificar que quando cos x = 1, sen x = 0, e portanto sen²(x) + 3cos(x) = 0² +3 . 1 = 3
E isso ocorre quando é 4pi/2, que pertence ao intervalo

08) A inversa de função trigonométrica não é 1/função. Devemos isolar a variável:
$\\ \mathrm{f(x)=\cos x} \\ \mathrm{\arccos \left[f(x) \right ]=x} \\ \mathrm{\therefore f^{-1}(x)=\arccos (x)}$

16) Podemos verificar pela lei dos cossenos.
Chamando um lado de a, e o outro de 2a, e o outro de b. Pela lei dos cossenos temos:
$\\ \mathrm{b^2=a^2+(2a)^2- 2 \cdot a \cdot (2a) \cdot \cos \ 60^o} \\ \mathrm{b^2 = 5a^2 - 4a^2 \cdot \dfrac{1}{2}} \\ \mathrm{b = a\sqrt{3}}$
Portanto, temos os lados a, 2a, e a√3. Fica evidente que 2a é o maior lado, então vamos usar pitágoras.
Se (2a)² > (a)² + (a√3)², então o triângulo é obtuso
Se (2a)² = (a)² + (a√3)², então o triângulo é retângulo
Se (2a)² < (a)² + (a√3)², então o triângulo é agudo.
Podemos observar que a segunda que ocorre, logo, é retângulo.