Função Quadrática - Ponto de Máximo

Bom pessoal, estava eu a resolver este exercício, quando me surpreendi com a resposta anunciada como correta, vejamos o exercício:

"Uma pedra e atirada para cima e sua altura h, em metros, e dada pela funcão
h(t) = at^2 + 12t, em que t e medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura
maxima no instante t = 2, pode-se afirmar que o valor de a é:
(A) -3
(B) -2
(C) 2
(D) 3
E) -4

Bom, pela restrição de ponto de máximo ao coeficiente a<0, podemos eliminar as alternativas C e D. 

Como é dado o instante t=2 para a altura máxima, pensei em substituir na função e testar os valores de a que me dêem a maior altura, assim o fiz:

a= -3 
h(t) = at^2 + 12t
h(t) = -3.2^2 + 12.2
h(t) = 12

a= -2
h(t) = at^2 + 12t
h(t) = -2.2^2 + 12.2
h(t) = 16

Parei por ai, pois percebi que se trabalha-se com -4 iria encontrar um valor menor ainda, cheguei a conclusão de que como a maior altura encontrada foi h(t) = 16, com a=-2, esta seria a resposta. 
Para minha surpresa não é, 
a resposta correta é a alternatica A, com a=-3.
Confesso que não entendi a argumentação na resolução que foi proposta, se puderem me elucidar, 
Grato,
Gobate.

você não sabe o gabarito ??

eu acho que é assim se tiver o gabarito confira
h(t) = at^2 + 12t
para t = 2

4a + 12.2 = 0
4a + 24 = 0
4a= -24
a = -6

-6t² + 12 t  como ele quer o ponto máximo
ymax = - delta/4a 
ymax = - 144/ 4.(-6)
ymax =  -144/ -24 = (6) <<<< resposta

Olá Euclide e Koalski, obrigado pelo comentário e pela resposta, respectivamente. 
Se puderem observar eu registrei em meus comentários, logo após a explicação de minha linha de raciocionio a resposta correta. 
Esta lá anotado, é a alternativa A, com a=-3.
Aguardo nova resposta. 
Grato.

A altura máxima em função de a, calculada pelo tempo e pelo valor do vértice da parábola



resolva a equação e vai encontrar a=-3

Euclides escreveu:A altura máxima em função de a, calculada pelo tempo e pelo valor do vértice da parábola



resolva a equação e vai encontrar a=-3

Olá Euclides, gostaria em primeiro lugar agradecê-lo pelo tempo dispensado em resolver o exercício!
Bom, dei uma lida em sua resolução e gostaria de saber se você não poderia me ajudar um pouco mais, é que não entendi a elegância de sua resolução. 
Quando você diz que a altura máxima em função de a será dada por : h=4a^2 + 24. 
Pronto, ai já apareceu minha primeira dúvida e não consegui prosseguir. 
Pensei assim: 
Tenho a função dada: h(t) = at^2 + 12t , substituo t=2 e encontro => h = 4a + 24
O que difere da sua? 
O coeficiente a^2
Me perdoe pela obtusidade é que para mim o obvio não se mostra tão obviamente assim.
Se puder me ajudar a entender ficaria muito grato, 
Obrigado, 
Gobate

Queira desculpar. Há um expoente digitado por engano. As equações são



cuja solução é a=-3

Observando agora vi solução bem mais simples:

t_v=\frac{-12}{2a}\;\;mas\;\;t_v=2\;\;\;\to\;\;\;2=\frac{-12}{2a}\;\;\;\therefore\;\;\;a=-3

Euclides escreveu:Observando agora vi solução bem mais simples:

t_v=\frac{-12}{2a}\;\;mas\;\;t_v=2\;\;\;\to\;\;\;2=\frac{-12}{2a}\;\;\;\therefore\;\;\;a=-3

Cara, que bacana esta vizão!
Simples assim.... 
Xv que você denotou por Tv,  é conhecido = 2 segundos, logo:

2 = -b/2a e pronto!

Parabéns pela sacada e obrigado....