distância entre pontos

por Monstro do Pântano Sáb 23 maio 2015, 10:53

O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0). O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5.O comprimento do segmento AB corresponde a:

distância entre pontos Jo68

O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a:

(A) 5
(B) 6
(C) 3 V5
(D) 6 V2

Resposta: C

Dá para resolver essa questão por semelhanças de triângulos?

por **Carlos Adir** Sáb 23 maio 2015, 11:05

Acho que não pois os triângulos sempre serão semelhantes, e não vejo nenhuma maneira de relacionar máximos e mínimos através de triângulos.
Mas uma solução que vejo é por desigualdade das médias:
$\\ \mathrm{\dfrac{p+q}{2} \ge \sqrt{pq}} \\ \mathrm{Como \ o \ produto \ atinge \ o \ valor \ m\'aximo,} \\ \mathrm{ent\~ao \ p=q, \ e \ pelo \ enunciado \ pq=4,5} \\ \mathrm{Portanto, \ p = \sqrt{4,5}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}} \\ \mathrm{Como \ p \ \'e \ o \ ponto \ m\'edio \ de \ \overline{OB}} \\ \mathrm{E \ q \ o \ ponto \ m\'edio \ de \ \overline{OA}} \\ \mathrm{Temos \ \overline{OB}=3\sqrt{2} \ e \ \overline{OA}=3\sqrt{2}} \\ \mathrm{E \ por \ pit\'agoras \ \overline{AB}=6}$

por Monstro do Pântano Sáb 23 maio 2015, 12:09

Quando ele diz que o produto atinge o valor máximo ele quer dizer o quê?

por **Carlos Adir** Sáb 23 maio 2015, 13:09

Interpretei a questão erroneamente, desculpe-me.
Considerei que os pontos A e B se moviam.

Então temos os pontos A e B fixos.
A reta que passa por AB não é dificil de determinar:
y = -(a/b) x + a
Portanto, podemos dizer que se C está na reta, então satisfaz a seguinte condição:
q = -(a/b).p + a
E então seu produto vira:
pq = p[-(a/b)p + a]
pq = -(a/b)p² + ap
Temos que é uma equação de segundo grau. O seu máximo será 4,5, logo:
$\\ \mathrm{f(p)=\dfrac{-a}{b}p^2 + ap} \\ \mathrm{f(p)_{max}=}\dfrac{-\Delta}{4a}=\mathrm{\dfrac{-a^2}{4\left(\dfrac{-a}{b} \right )}=\dfrac{ab}{4}=4,5} \\ \mathrm{\therefore ab=18} \\ \mathrm{Pelo \ enunciado \ b=3, \ logo \ a=6} \\ \mathrm{Por \ pitágoras \ temos:} \\ \mathrm{d=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}}$

por Monstro do Pântano Sáb 23 maio 2015, 13:36

Po não entendi como você chegou nessa na parte da equação do segundo grau não. Você tem algum video ou site pra me recomendar pra eu estudar essa matéria?

por **Carlos Adir** Sáb 23 maio 2015, 14:04

1°) Com a imagem peguei a equação da reta AB

2°) Com a equação da reta, eu posso descrever um y em função de x.
Como o ponto C está na reta, então eu posso descrever o q(y do ponto C) em função de p, o que fiz acima

3°) Após ter um em função do outro, multipliquei ambos os lados por p, pois eu queria o produto pq. Obtendo assim uma equação de segundo grau.

4°) Por parte das funções, o máximo de uma função de segundo grau será no vertíce, e pode ser calculado como -Delta/4a. Deste modo, achei o máximo da função, que no caso foi ab/4.

5°) O enunciado disse que o máximo era 4,5, e então eu igualei a 4,5 o máximo achado.

6°) Após ter achado ab=18, e o ponto B é descrito como (3,0), então b=3, e consequentemente a=6.

7°) Achado os valores de a e de b, podemos descobrir o valor do segmento AB por pitágoras.

"Brinque" um pouquinho com a questão:
Questão
Isto ajuda a visualização sobre a resolução. Mecha o ponto C e veja como o produto muda.

Material eu não tenho muito sobre, mas muita gente recomenda Iezzi.
Estuda a parte de funções, geometria analítica fica mais fácil se você sabe funções.