questoes de maximos e minimos
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questoes de maximos e minimos
por miyasato Sáb 16 maio 2015, 21:55
ola gostaria de saber como se resolve estas questoes abaixo.
Estude a funçao com relação a concavidade e pontos de inflexão
Y=(X)/(1+X^2)
Estude a funçao com relação a concavidade e pontos de inflexão
Y=(X)/(1+X^2)
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Re: questoes de maximos e minimos
por mauk03 Dom 17 maio 2015, 18:12
Uma curva y = f(x) tem concavidade positiva quando f''(x) > 0, concavidade negativa quando f''(x) < 0 e pontos de inflexão dados por f''(x) = 0.
Para esse caso, sendo:
y' = (x/(1 + x²))' = (1*(1 + x²) - x*(2x))/(1 + x²)² = (1 - x²)/(1 + x²)²
y'' = ((1 - x²)/(1 + x²)²)' = ((-2x)*(1 + x²)² - (1 - x²)*2(1 + x²)*2x)/(1 + x²)^4 = ((-2x)(1 + x²) - 4x(1 - x²))/(1 + x²)³ = (2x³ - 6x)/(1 + x²)³
Temos que:
(2x³ - 6x)/(1 + x²)³ > 0 --> -√3 < x < 0 ou x > √3 (concavidade positiva)
(2x³ - 6x)/(1 + x²)³ < 0 --> x < -√3 ou 0 < x < √3 (concavidade negativa)
(2x³ - 6x)/(1 + x²)³ = 0 --> x = 0 ou x = √3 ou x = -√3 (pontos de inflexão)
Para esse caso, sendo:
y' = (x/(1 + x²))' = (1*(1 + x²) - x*(2x))/(1 + x²)² = (1 - x²)/(1 + x²)²
y'' = ((1 - x²)/(1 + x²)²)' = ((-2x)*(1 + x²)² - (1 - x²)*2(1 + x²)*2x)/(1 + x²)^4 = ((-2x)(1 + x²) - 4x(1 - x²))/(1 + x²)³ = (2x³ - 6x)/(1 + x²)³
Temos que:
(2x³ - 6x)/(1 + x²)³ > 0 --> -√3 < x < 0 ou x > √3 (concavidade positiva)
(2x³ - 6x)/(1 + x²)³ < 0 --> x < -√3 ou 0 < x < √3 (concavidade negativa)
(2x³ - 6x)/(1 + x²)³ = 0 --> x = 0 ou x = √3 ou x = -√3 (pontos de inflexão)
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Re: questoes de maximos e minimos
por miyasato Ter 19 maio 2015, 02:54
muiito bommmmmm me ajudou bastante, mas estou em duvida nesta daqui tb, F(X)=(X)/(1+X^2), ENCONTRE OS MAXIMOS E MINIMOS LOCAIS, eu tentei fazer esta função com o x1 = -√3 e x2 =
√3, mas nao esta chegando ao resultado que minha professora passou que é 1 e max e outro min.
√3, mas nao esta chegando ao resultado que minha professora passou que é 1 e max e outro min.
miyasato- Iniciante
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Re: questoes de maximos e minimos
por mauk03 Ter 19 maio 2015, 19:10
Os máximos e mínimos locais são dados por:
y' = 0 --> (1 - x²)/(1 + x²)² = 0 --> 1 - x² = 0 --> x = 1 ou x = -1
Como f''(1) = (2*1³ - 6*1)/(1 + 1²)³ = -2 < 0 então x = 1 é ponto de máximo local.
Como f''(-1) = (2*(-1)³ - 6*(-1))/(1 + (-1)²)³ = 2 > 0 então x = -1 é ponto de mínimo local.
y' = 0 --> (1 - x²)/(1 + x²)² = 0 --> 1 - x² = 0 --> x = 1 ou x = -1
Como f''(1) = (2*1³ - 6*1)/(1 + 1²)³ = -2 < 0 então x = 1 é ponto de máximo local.
Como f''(-1) = (2*(-1)³ - 6*(-1))/(1 + (-1)²)³ = 2 > 0 então x = -1 é ponto de mínimo local.
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