Ponto - Simetria

por maarip4 Seg 27 Abr 2015, 17:45

O que significa determinar o simétrico de um ponto em relação a outro?

Esse exercício:
Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3).

Obrigada

por **Carlos Adir** Seg 27 Abr 2015, 18:40

Simetria significa que algo está... "simetrico".
Por exemplo, se você for uma borboleta, ela tem uma simetria.
Um circulo tem simetria por qualquer lado.
Se você desenhar algo, e colocar um espelho, você verá uma figura real, e a outra no espelho. No total você vê uma simetria.

O mesmo acontece ai, se você pega o ponto P, e põe um espelho no ponto A, você vai ver o simetrico de P no espelho.

Para efeito de calculos, podemos perceber que o ponto P, e seu simétrico P', o ponto médio de P e P' será o ponto A.
Assim como calculamos o ponto médio:

$\mathrm{M=\dfrac{P+P'}{2}}$

Agora lidamos com as coordenadas:

$\\ \mathrm{\left(-1, \ 0, \ -3 \right )=\dfrac{\left(3, \ 1, \ -2 \right ) + \left(x_{P'}, \ y_{P'}, \ z_{P'} \right )}{2}} \\ \left(-1, \ 0, \ -3 \right )=\left(\dfrac{3+x_{P'}}{2}, \ \dfrac{1 + y_{P'}}{2}, \ \dfrac{-2 + z_{P'}}{2} \right ) \\ \Rightarrow \begin{cases}-1 = \dfrac{3+x_{P'}}{2}\\ 0 = \dfrac{1+y_{P'}}{2} \\ -3 = \dfrac{-2+z_{P'}}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{P'}=-5 \\ y_{P'}=-1 \\ z_{P'}=-4 \end{cases}$

Portanto:

$\boxed{P'=\left(-5, \ -1, \ -4 \right )}$

Ponto - Simetria

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