Exercício - Dúvida

Demonstre que o produto:
                               P=(n+1)(n+2)...(2n)
de n números inteiros consecutivos é divisível pelo produto dos n primeiros números ímpares. Qual é o quociente?

Gabarito: 2^n

P = (n + 1).(n + 2).(n + 3). ........ .(2n)

Certamente o gabarito está errado. Vou mostrar dois exemplos:

1) n é ímpar ---> n = 5 ---> 2n = 10 ---> P = 6.7.8.9.10 ---> P/7.9 = 480

2^n = 2^5 = 32 ---> Gabarito não confere

2) n par ---> n = 6 ---> 2n = 12 ---> P = 6.7.8.9.10.11.12 ---> P/7.9.11 = 960

2^n = 2^6 = 64 ---> Gabarito não confere

Ficou uma dúvida ainda. 
Se n=5 então 2n=10 e P=6.7.8.9.10. Se dividirmos pelos n primeiros números ímpares(n=5 então são 1, 3, 5, 7 e 9), achamos P/1.3.5.7.9 = 32, que confere com o gabarito. minha dúvida foi, por que o senhor considerou somente o 7 e o 9, e não todos os 5 primeiros números ímpares?

Você está certo, meu caro: eu interpretei errado o enunciado. O correto é:

Para n = 5 ---> 2n = 10 ---> 6.7.8.9.10/1.3.5.7.9 = 32 = 2^5 ---> OK

Para n = 6 ---> 2n = 12 ---> 7.8.9.10.11.12/1.3.5.7.9.11 ---> n = 64 = 2^6 ---> OK

Falta provar.
Vamos pensar mais um pouco e aguardar que outros usuários deem uma ajuda

Um bom caminho seria, escrevendo ao contrário):

P = (2n).(2n - 1).(2n -2). ........ .(n + 3).(n + 2).(n + 1).n!/n!


P = (2n)!/n!

P/(1.3.5.7.9. .... .k) = (2n)!/n!.(1.3.5.7.9. ... .k) onde 1 a k são n ímpares

Acontece que:

1.3.5.7.9 ..... .k = 1.2.3.4.5.6.7.8.9. ..... .k/2.4.6.8. .... .(k -1) --->

1.3.5.7.9 ...... .k = k!/(2.1).(2.2).(2.3).(2.4). ........ 2.(k - 1)/2

1.3.5.7.9 .... .k = k!/2^(k - 1).[1.2.3.4. ..... (k - 1)/2]

1.3.5.7.9 .... .k = k!/2^(k - 1).[(k - 1)/2]!

Confiram minhas contas e tentem prosseguir a partir daí

Entendi seu raciocínio, porém não consegui prosseguir, tentei de várias maneiras e estou empacado nesse exercício. Se puder me explicar o resto da resolução seria ótimo
Obs: Sim eu substitui o valor encontrado na formula inicial,porém de lá não consegui prosseguir mais.

Já consegui chegar no resultado. 
Bastou trocar o k por 2n-1 e deu certinho.
Obrigado por sua ajuda.
Até mais.

Mbssilva

Então poste o complemento da solução, para que outros usuários aprendam.

Troquei k por 2n-1 já que este é um modo de achar os primeiros números ímpares. Ex:
n=1 --> 1
n=2 --> 3
  :
  :
  :
n=n --> 2n-1

Interpretando sua resolução:

P=(2n)!/n!
1.3.5.7.9. ... .(2n-1)=1.2.3.4.5.6.7.8.9. ...... .(2n-3)(2n-2)(2n-1)/2.4.6.8. .... .(2n-2)
1.3.5.7.9. ... .(2n-1)=1.2.3.4.5.6.7.8.9. ...... .(2n-3)(2n-2)(2n-1)/(2.1).(2.2).(2.3).(2.4).(2.5). .... .[2(n-1)]
1.3.5.7.9. ... .(2n-1)=1.2.3.4.5.6.7.8.9. ...... .(2n-3)(2n-2)(2n-1)/[2^(n-1)].(n-1)!
1.3.5.7.9. ... .(2n-1)=(2n-1)!/[2^(n-1)].(n-1)!

O exercício pede para provar então que P é divisível por (2n-1)!/[2^(n-1)].(n-1)! :
P/[(2n-1)!/[2^(n-1)].(n-1)!]
P.[2^(n-1)].(n-1)!/(2n-1)!
(2n)![2^(n-1)].(n-1)!/n!(2n-1)!
(2n)(2n-1)![2^(n-1)].(n-1)!/n(n-1)!(2n-1)!
2n[2^(n-1)]/n
2.2^(n-1)=2^n