Determinar Vetor C

Sendo os vetores a =(1,-1,0) e b(-1,2,-2,) na mesma origem. Determine as coordenadas do vetor c sobre a bissetriz do angulo de a e b, levando em conta que |c|= . Galera, não sei o que fazer nessa questão, eu encontrei o cosseno ângulo teta, que deu igual a -20/21 e depois encontre o cosseno de teta/2(devido a bissetriz), encontrei 1/\/42, mas não consegui sair disso, alguém poderia me ajudar?

Resultaram uns números muito feios, companheiro; chego a duvidar que esteja certo. Em todo o caso, espero que seja de alguma ajuda.

Olá, Amigo! Muito obrigado pela sua resposta,e acho que está certo. Se eu conseguir o gabarito eu lhe respondo. Só uma dúvida agora, no cado do vetor "db" ele tem o mesmo de módulo de a, você fez isso pois dessa forma o vetor resultante da soma entre eles fica exatamente na bissetriz? Muito obrigado por sua resposta, novamente! Abraços!

Exatamente, o vetor λb tem mesma direção e sentido que b mas o mesmo módulo de a, assim eles formam um paralelogramo de lados iguais cuja diagonal, que é a resultante da sua soma, é também bissetriz do ângulo ente eles.

Fiz isso na tentativa de fugir do radical duplo no cos e sen. Pensei ter achado um atalho para a questão mas, como vimos, o resultado é muito feio.
Não experimentei, mas podia fazer ao contrário, isto é, tomar um λa com mesmo módulo do b, talvez resultasse n°s mais fáceis.

Um outro caminho, clássico, do qual fugi, seria considerar o produto escalar e o vetorial para encontrar equações nas variáveis de c. Assim (a partir daqui não vou mais colocar negrito nos vetores):
c = (x, y, z) -----> |c| = 3√42 ....... (deve ter algum motivo para este n°)
a = (1,-1,0) -----> |a| = √2
b = (-1,2,-2) ----> |b| = 3

A chave na figura acima indica um possível sistema de três equações para três incógnitas -- haja paciência, quem tiver estômago que se habilite.

Ah, já ia esquecendo de uma outra equação dada pelo enunciado: x² + y² + z² = 3².42

Abç.