Áreas

Como devemos dividir um arame de 49 cm de comprimento em duas partes
para fazer um quadrado e um triângulo equilátero de modo que a soma das áreas internas
dessas figuras seja mínima. 


(Infelizmente não tenho o gabarito)

Obrigado desde já.

Seja x o comprimento para construir o triângulo ---> 49 - x é o comprimento para construir o quadrado

Lado do triângulo: L = x/3 ---> Lado quadrado: L' = (49 - x)/4

Área do triângulo ---> St = L².√3/4 ---> St = (x/3)².√3/4) ---> St = (√3/36).x²

Área do quadrado ---> Sq = L'² ---> Sq = (49 - x)²/4² ---> Sq = (x² - 98x + 2401)/16

S = St + Sq ---> Calcule S (função do 2º grau: parábola com a concavidade voltada para cima)

A área mínima ocorre no vértice V ---> Calcule xV e depois 40 - xV

A única solução que encontrei foi essa, ou seja, jogando valor
Partiremos de um número k, qualquer tal que k = 49/2

  Triângulo       -      Quadrado        -       Somatório das áreas
   L = k                    L= k                  S(total) = k²v3/4 + k²
ps: Não diz que os lados devem ser inteiros

  L = k+1       -        L= k-1              -  St = (k+1)²v3/4 + (k-1)²

  L = k+2       -        L= k-2              - St= (k+2)²v3/4 + (k-2)²

Jogando valor, perceberá que conforme aumentamos o lado do triângulo, aumentará a área total, o que de fato não nos interessa, vamos tentar diminuir o lado do triângulo, então.

 L = k-1       -        L = k+1              -   St = (k-1)²v3/4 + (k+1)²
 
 L = k-2       -        L = k+2              -   St = (k-2)²v3/4 + (k+2)²

Perceba também, que para qualquer aumento ou redução do do lado primitivo k, aumentará a área total, basta novamente jogar valor, portanto o lado de ambas figuras seria k, mas 2k=49 ---> k=49/2.

Acho que é isso :scratch: