Expressão com frações

por nandofab Ter 31 Mar 2015, 10:40

Se x + y + z = 0, prove que $(\frac{y-z}{x} + \frac{z-x}{y} + \frac{x-y}{z})(\frac{x}{y-z} + \frac{y}{z-x} + \frac{z}{x-y} ) = 9$

por **Carl Sagan** Ter 31 Mar 2015, 20:02

Encontrei isto: $(\frac{y-z}{x} + \frac{z-x}{y} + \frac{x-y}{z})(\frac{x}{y-z} + \frac{y}{z-x} + \frac{z}{x-y} ) > 9$

mas talvez possa ajudar.

$(\frac{y-z}{x} + \frac{z-x}{y} + \frac{x-y}{z})(\frac{x}{y-z} + \frac{y}{z-x} + \frac{z}{x-y} )=\\ \frac{x(x-y)}{z(y-z)}+\frac{y(x-y)}{z(z-x)}+\frac{x(z-x)}{y(y-z)}+\frac{y(y-z)}{x(z-x)}+\frac{z(y-z)}{x(x-y)}+\frac{z(z-x)}{y(x-y)}+3\\$

Usando MA ≥ MG (desigualdade das médias):
$\frac{1}{6} \cdot (\frac{x(x-y)}{z(y-z)}+\frac{y(x-y)}{z(z-x)}+\frac{x(z-x)}{y(y-z)}+\frac{y(y-z)}{x(z-x)}+\frac{z(y-z)}{x(x-y)}+\frac{z(z-x)}{y(x-y)}) \geq \sqrt[6]{\frac{x(x-y)}{z(y-z)} \cdot \frac{y(x-y)}{z(z-x)} \cdot \frac{x(z-x)}{y(y-z)} \cdot \frac{y(y-z)}{x(z-x)} \cdot \frac{z(y-z)}{x(x-y)} \cdot \frac{z(z-x)}{y(x-y)}}\\ \\ \frac{x(x-y)}{z(y-z)}+\frac{y(x-y)}{z(z-x)}+\frac{x(z-x)}{y(y-z)}+\frac{y(y-z)}{x(z-x)}+\frac{z(y-z)}{x(x-y)}+\frac{z(z-x)}{y(x-y)} \geq 6\\ \frac{x(x-y)}{z(y-z)}+\frac{y(x-y)}{z(z-x)}+\frac{x(z-x)}{y(y-z)}+\frac{y(y-z)}{x(z-x)}+\frac{z(y-z)}{x(x-y)}+\frac{z(z-x)}{y(x-y)}+3 \geq 9\\\\\\ (\frac{y-z}{x} + \frac{z-x}{y} + \frac{x-y}{z})(\frac{x}{y-z} + \frac{y}{z-x} + \frac{z}{x-y} ) \geq 9$

Mas,
$x+y+z=0\\ x \neq y \neq z \neq 0\\$

Então:
$(\frac{y-z}{x} + \frac{z-x}{y} + \frac{x-y}{z})(\frac{x}{y-z} + \frac{y}{z-x} + \frac{z}{x-y} ) > 9$

Está correto?

por nandofab Ter 31 Mar 2015, 23:33

Compreendi o raciocínio. Tá correto sim, mas ele quer q seja igual a 9 ! Como uso a informação x + y + z = 0 ? Acho que tem que fazer algo com os numeradores, pois y-z + z-x + x- y - 0 ..

por **Carl Sagan** Qua 01 Abr 2015, 15:07

Para ter a igualdade, devemos ter x=y=z, mas como x+y+z=0, parece que eles não podem ser iguais entre si (nem iguais a zero, por eles estarem nos denominadores das frações).
Devo estar perdendo algum detalhe no meio da resolução, vamos ver se aparece alguém com uma ideia sobre isto.

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