Demonstrar as seguintes identidades

por thaiiiise Sáb 28 Mar 2015, 13:47

Prove que:
a) Demonstrar as seguintes identidades 2wlue8p

b) sen 3a. cossec a - cos 3a. sec a = 2

por **Thálisson C** Sáb 28 Mar 2015, 15:20

a) desenvolvendo sen(3a) :

$\\sen(3a) = sen(2a + a) = sen(2a)cos(a) + sen(a)cos(2a) \\\\ \rightarrow 2sen(a)cos^{2}(a) + sen(a)cos^{2}(a) - sen^{3}(a) = 3sen(a)cos^{2}(a) - sen^{3}(a)$

numerador:

$\\sen(3a) + sen^{3}(a) = 3sen(a)cos^{2}(a) - sen^{3}(a) + sen^{3}(a) = 3sen(a)cos^{2}(a)$

agora desenvolvendo cos(3a) :

$\\cos(3a) = cos(2a +a) = cos(2a)cos(a) - sen(2a)sen(a)\\\\\rightarrow cos^{3}(a) - sen^{2}(a)cos(a) - 2sen^{2}(a)cos(a) = cos^{3}(a) - 3sen^{2}(a)cos(a)$

o denominador:

$\\cos^{3}(a) - cos(3a) = cos^{3}(a) - (cos^{3}(a) - 3sen^{2}(a)cos(a)) = 3sen^{2}(a)cos(a)$

unindo a fração:

$\\\frac{3cos^{2}(a)sen(a)}{3sen^{2}(a)cos(a)} = \frac{cos(a)}{sen(a)} = cotg(a)$

tente fazer a B usando o mesmo raciocínio da adição de arcos, se tiver dúvidas, retorne.

por thaiiiise Sáb 28 Mar 2015, 15:55

Quando você resolveu o sen (3a) lá no início, tem uma hora que dá 2sen(a)cos²(a) + sen(a)cos(a) - sen³(a)...
De onde saiu esse termo: sen(a)cos(a) - sen³(a)??

por **Thálisson C** Sáb 28 Mar 2015, 19:01

É só saber as duas relações abaixo! eu apenas substitui ..

sen(2a) = 2 sen(a) cos(a)
cos (2a) = cos²(a) - sen²(a)

sen(2a + a) = sen(2a)cos(a) + sen(a)cos(2a)
sen(3a) = 2 sen(a) cos(a) cos(a) + sen(a) [cos²(a) - sen²(a)]
sen(3a) = 2 sen(a) cos²(a) + sen(a)cos²(a) - sen³(a)
sen(3a) = 3sen(a)cos²(a) - sen³(a)

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