Trigo

O domínio e a imagem da função y(x) = 3cos²(2x) + 4 são, respectivamente,
A) 0 ≤ x ≤ π e 4 ≤ y ≤ 7.
B) 0 ≤ x ≤ 2π e 1 ≤ y ≤ 7.
C) − ∞ < x < ∞ e − 1 ≤ y ≤ 1.
D) − ∞ < x < ∞ e 1 ≤ y ≤ 7.
E) − ∞ < x < ∞ e 4 ≤ y ≤ 7.


resp E

O domínio dessa função diz respeito a todos os valores que x pode assumir dentro dessa função. Sendo assim, temos que analisar para quais valores a função cosseno seria indeterminada. Bom, para nenhum, né? Essa função é determinada para qualquer coisa que você coloque em x. Logo, o domínio dessa função é o conjunto dos números reais.

Já a imagem diz respeito à faixa de valores que y pode assumir dentro dessa função. Então, qual é a faixa de valores que a função cosseno pode assumir? De -1 a 1, correto?
Então se substituirmos a função cosseno por esses valores, podemos achar também os limites do valor de y nessa função. Assim:
y(-1) = 3*(-1)² + 4 = 3 + 4 = 7
e
y(1) = 3*(1)² + 4 = 3 + 4 = 7
Percebemos um problema, porém. Os dois limites dão o mesmo resultado.

Mas talvez possamos imaginar essa função cosseno como uma função quadrática onde possamos fazer um artifício:
w = cos (2x)

Desse modo, a função fica dessa maneira:
y(w) = 3w² + 4

E daí podemos descobrir o valor mínimo para w e y:
w_mín = - b / 2a = - 0/6 = 0
y_mín = - delta / 4a = 4ac / 4a = c = 4

Então descobrimos que o valor mínimo para y é 4, que é quando o cosseno lá todo é zero. Mas o que importa é que conseguimos pegar uma expressão equivalente à primeira e descobrimos que seu valor mínimo é 4. Como já sabemos que o valor máximo é 7, através dos limites usados acima, então a imagem da função é o conjunto dos números reais maiores que 4 e menores que 7.

Espero ter ajudado. ^_^