João e Maria...

João e Maria costumavam namorar atravessando um caminho reto que passava pelo centro de um canteiro circular, cujo raio mede 5m. Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de partida, partiram emburrados e ao mesmo tempo, para o ponto de chegada na outra extremidade do diâmetro. Maria caminhou pelo diâmetro do canteiro e João caminhou ao longo do caminho que margeava o canteiro (sobre a circunferência), cuidando para estar, sempre à mesma altura de Maria, isto é, de modo que a reta formada por João e Maria ficasse perpendicular ao diâmetro do canteiro. Quando a medida percorrida por Maria, for igual a 7,5 = 5 + 5/2 metros, o comprimento do arco percorrido por João na circunferência será?

Resposta: 10∏/3 metros

Desenhe um círculo, de centro C e de raio 5

Trace uma diâmetro ACB horizontal no mesmo e Sejam M e N os pontos médios de CA e CB:

AM = CM = BN = CN = 2,5

Por M, O e N trace perpendiculares para cima até encontrar a circunferência em E, O e U

Note que CE = CU = 5

Nos triângulos retângulos EMC e UNC temos hipotenusas CE e CU = 5 e catetos CM = CN = 2,5

Logo, ângulo E^CA = ângulo U^CB = 60º ---> arco AE = arco UB = 60º e arco EO = arco UO = 30º

arcco AEOU = arco AE + arco EO + arco OU ---> arco AEOU = 60º + 30º + 30º --> arco AEOU = 120º

120º = 2.pi/3 ---> arco AEOU = 2.pi.R/3 = 2.pi.5/3 = 10.pi/3

Elcioschin escreveu:Logo, ângulo E^CA = ângulo U^CB = 60º ---> 

Elcio, nessa parte não entendi o porque deduzir que é igual a 60º. Não vi informações suficientes, poderia me explicar?

Seja PXQ um triângulo retângulo em X com hipotenusa PQ e catetos XP e XQ e seja PQ = 2.k e XP = k

cos(X^PQ) = XP//PQ ---> cos(X^PQ) = = k/2.k ---> cos(X^PQ) = 1/2 ---> X^PQ = 60º

Conclusão: todo triângulo retângulo em que a hipotenusa é o dobro de um dos catetos, o ângulo entre eles vale 60º