PA IV - confirmar gabarito

por **Ashitaka** Sex 13 Mar 2015, 22:32

Provar que se uma PA é tal que a soma de seus n primeiros termos é igual a n+1 vezes a metade o n-ésimo termo, então a₁ = r.

Encontrei que a₁ = r = 0, confere?

por **Carlos Adir** Sex 13 Mar 2015, 22:42

Achei que a_1=r, não necessariamente 0:
a_1 =2 e r=2, e 3 termos:
Soma dos 3 termo: a_1 + a_2 + a_3 = 2+4+6=12
(n+1) vezes a metade do n-ésimo termo: (3+1).(6)/2=12
OK!

Soma:
$\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}a_1+(i-1)r=na_1+r \cdot \dfrac{n(n-1)}{2}$

Será igual a (n+1) vezes a metade do n-ésimo termo:
$\\ (n+1)\ vezes \ a \ metade \ do \ n-esimo \ termo: \dfrac{(n+1)a_n}{2} \\ = \dfrac{(n+1)(a_1+(n-1)r)}{2}$

$\\ na_1+r \cdot \dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{(n+1)(a_1+(n-1)r)}{2} \\ n(2a_1+nr-r)=(n+1)(a_1+nr-r) \\ \Rightarrow na_1=a_1+nr-r \Rightarrow a_1(n-1)=r(n-1)$

Logo, a_1=r