Soma da PA

por Convidado Sex 13 Mar 2015, 17:28

O primeiro termo de uma PA de inteiros consecutivos é k² + 1. Calcule a soma dos 2k + 1 primeiros termos.

Eu tentei fazer assim:

a₁ = k² + 1 e r = 1 .:. aո = k² + 1 + 2k --> Sո = [(a₁ + aո)n]/2 = [(k² + 1 + k² + 1 + 2k)(2k + 1)]/2 e cheguei numa equação do 3º grau. Tenho duas perguntas: o meu raciocínio está correto? Se sim, como devo proceder daí em diante? Se não, qual foi o meu erro?

Obrigada!

por **Carlos Adir** Sex 13 Mar 2015, 19:29

$\\ a_1 = k^2+1 \Rightarrow a_2=k^2+2 \Rightarrow a_3=k^2+3\Rightarrow \cdots \Rightarrow a_n=k^2+n \\ S=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\left(k^2+1 \right )+\left(k^2+2 \right )+\cdots+\left(k^2+n \right )= \\ = n \cdot k^2 + \left(1+2+3+\cdots+n \right )=nk^2+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n\left(2k^2+n+1 \right )}{2}$

Assim, como n é 2k+1:
$S=\dfrac{\left(2k+1 \right )\left(2k^2+(2k+1)+1 \right )}{2}=\left(2k+1 \right )\left(k^2+k+1 \right )$

Chegamos no valor da soma em função de k. Por exemplo, digamos que k=1:
$\\ a_1=1^2+1 \Rightarrow a_2=1^2+2\Rightarrow a_3=1^2+3 \\ a_1+a_2+a_3= 2 + 3 + 4 = 9 = \left(2 \cdot 1+1 \right )\left(1^2+1+1 \right )$

Essa é a resposta final.(não o exemplo acima, mas sim o resultado em função de k)

Corrigido