Rotação de ângulo.

por Renan Phoenix Qua 11 Mar 2015, 16:34

Em um sistemas de eixos temos A(2, 0) e B(14, 5). Fazendo uma rotação de AB em torno de A, de 45° no sentido anti-horário, obtém-se AB'. Determine B'.

Gabarito: B'[2 + 7(√2/2), 19(√2/2)]

Minha resolução (divergente do gabarito):
Rotação de ângulo. 52gh35

AB=AB'

5 = AB'.sen α
12 = AB'. cos α

x' = AB'.cos (45° + α)
x' = AB'.cos 45°.cos α - AB'.sen 45°.sen α
x' = 12.(√2/2) - 5(√2/2)
x' = 7.(√2/2)

y' = AB'.sen (45° + α)
y' = AB'.sen 45°.cos α + AB'.sen α.cos 45°
y' = 12(√2/2) + 5(√2/2)
y' = 17(√2/2)

B'[7.(√2/2), 17(√2/2)]

Por favor, exponham meus erros para que eu possa concertá-los.

por **Carlos Adir** Qua 11 Mar 2015, 19:03

$\begin{cases}cos \ \alpha = \dfrac{(14-2)}{\sqrt{5^2+(14-2)^2}} = \dfrac{12}{13} \\ sen \ \alpha = \dfrac{5}{\sqrt{5^2+(14-2)^2}} =\dfrac{5}{13}\end{cases}$

No caso x' você calculou a posição ao redor do ponto A.
A abscissa de B' será 2 + x' portanto.
y' temos:
$\\ y'=AB'\cdot sen \ 45^o\cdot cos \ \alpha + AB'\cdot sen \alpha \cdot cos \ 45^o \\ y'= 13 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{12}{13}+13 \cdot \dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ y'=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(12 + 5 \right )$

Podes perceber que o gabarito está errado. Se B' for o do gabarito temos:
$\\ d(A,\ B')=\overline{AB'}=\sqrt{\left(2+7\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )-2 \right )^2 + \left(19 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}= \\ =\sqrt{\dfrac{49}{2}+\dfrac{361}{2}}=\sqrt{205}$

por **Elcioschin** Qua 11 Mar 2015, 19:25

Renan

Seus erros:

5 = AB'.sen α ---> O correto é 5 = AB.senα
12 = AB'. cos α ---> O correto é 12 = AB.cosα

x' = AB'.cos (45° + α) ---> O correto é x' - 2 = AB'.cos (45° + α)