(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 3

por **aryleudo** Seg 23 Fev 2015, 17:45

O coeficiente de atrito estático entre a roupa de uma pessoa e a parede cilíndrica de uma centrífuga de parque de diversões é μ. Considere que a centrífuga possui raio R, sempre gira em torno de um eixo vertical e encontra-se em um local de gravidade g. Seja ω0 a velocidade angular mínima da centrífuga para que a pessoa permaneça colada à parede acima do piso. Imagine que a centrífuga atinge uma velocidade angular de 2ω0 quando começa a frear. Neste momento, determine, em função de μ, g e R.
a) a máxima aceleração angular possível para que a pessoa não deslize lateralmente;
b) o módulo da aceleração resultante sobre a pessoa, considerando-a como um pequeno bloco.

OBS.: Sem gabarito!

por **Fito42** Seg 23 Fev 2015, 18:16

a) Forças que atuam na pessoa durante o equilíbrio:
Horizontal:
N = Fcp
N = mω²R
Vertical:
Fat ≥ P
μN ≥ mg

μmω²R ≥ mg

(Quanto maior a velocidade angular, maior a normal e maior o atrito, levando a pessoa a subir. A maior velocidade angular, portanto, é aquela que "cria" um atrito equivalente ao peso)

ωmáx = (g/μR)¹/²

b) Com ω = 2ωo

ar = acp

ar = ω²/R

ar = 4ωo²/R

Observe que ωo = ωmáx ("Seja ω0 a velocidade angular mínima da centrífuga para que a pessoa permaneça colada à parede acima do piso - Apesar de ser mínima, é o único valor que mantém o equilíbrio e, portanto, o valor máximo)

ar = 4ωo²/R

ar = 4(g/μR)/R
ar = 4 g / μ R²

por **Thálisson C** Ter 24 Fev 2015, 18:36

Fito42, a questão é muito mais complexa que isso. Além do mais, na letra A é pedido a aceleração angular e não velocidade angular, deixe-me dar minhas contribuições:

o rotor está com aceleração tangencial, fugindo do exposto pelos problemas tradicionais:

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 3 Qq4k7c

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 3 Qq4k7c

Agora vamos entender o prolema: O rotor está acelerado e teremos a máxima aceleração quando quando a velocidade angular for igual a 2wօ, nesse caso a força centrífuga será dada por: m(2wօ)²R --> Frc = 4m(wo)²R e a normal deve anular essa força:

$N = F_{rc} \;\; \rightarrow \;\; N = 4m\omega _{o}^{2}R$

agora temos que a força de atrito irá anular o peso e a força fictícia "ma" :

$\\\\(F_{at})^{2} = (ma)^{2} + (mg)^{2} \;\; \rightarrow \;\; \mu^{2} N^{2} = m^{2}(a^{2} + g^{2})\;\; \rightarrow \;\; N = \frac{m}{\mu }\sqrt{(a^{2} + g^{2})}$

vamos substituir na primeira fórmula:

$\\\\ 4m\omega _{o}^{2}R = \frac{m}{\mu }\sqrt{(a^{2} + g^{2})}\;\; \rightarrow \;\; 4\omega _{o}^{2}R = \frac{\sqrt{(a^{2} + g^{2})}}{\mu }$

a aceleração tangencial tangencial nessa relação é a máxima, pois consideramos a máxima velocidade angular, e wo é como diz o enunciado, é a velocidade angular mínima pra que a pessoa fique acima do piso e é dada por:

$\\\\ m\omega _{o}^{2}R = \frac{mg}{\mu} \;\; \rightarrow \;\; \omega _{o}^{2} = \frac{g}{\mu R}$

substituindo, e sabendo que a aceleração angular (alfa) é igual a --> a/R :

$\\\\ \frac{4g}{R\mu}R = \frac{\sqrt{(a^{2} + g^{2})}}{\mu }\;\; \rightarrow \;\;16g^{2} = a^{2} + g^{2} \;\; \rightarrow \; a^{2} = 15g^{2} \;\; \rightarrow \;\; a = \sqrt{15}g\\\\ \alpha R = \sqrt{15}g \;\; \rightarrow \;\; \boxed{\alpha = \sqrt{15} \frac{g}{R}}$

na letra B, a aceleração resultante será a soma das componentes:

$\\\\ a_{r}^{2} = (\alpha R)^{2} + (4\omega _{o}^{2}R)^{2} \;\; \rightarrow \;\; a_{r}^{2} = 15g^{2} + \left (4(\frac{g}{R\mu})R \right )^{2} \\\\ a_{r}^{2} = 15g^{2} + \frac{16g^{2}}{\mu^{2} }\;\; \rightarrow \;\; \boxed{a_{r} = g\sqrt{15 + \frac{16}{\mu ^{2}}}}$

por **Fito42** Qua 25 Fev 2015, 00:38

É, eu subestimei a questão xD Pensei que era da OBF do 9º ano e pensei de forma simples. Li errado, para ser sincero. Eu calculei a velocidade angular e não a aceleração -.-

por L.Lawliet Qua 25 Fev 2015, 09:50

Pessoal, a explicação esta excelente, mas eu fiquei com algumas duvidas. Quando possivel, voces poderiam me ajudar?

I) A força "m.a" é "força inercial" e a direção dela é tangencial? (por sinal, ela seria coplanar a força peso?). Se sim, ela surge devido a aceleração tangencial?

II) Essa parte, eu tambem nao consegui entender:

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 3 81e504e644d860e921da5ceb0d29cd91

(OBF 2009 2ª fase/2º e 3º anos) questão 3 81e504e644d860e921da5ceb0d29cd91

Valeu!!!!

por **Thálisson C** Qua 25 Fev 2015, 10:59

I - a forma "ma" é a fictícia de referenciais não inerciais e surge devido a aceleração, é tangente a trajetória perpendicular ao peso.

II - essa relação eu tratei de minimizá-la pois o amigo Fito já havia calculado na letra A.

por **Fito42** Qua 25 Fev 2015, 11:15

1) Sim, observe na imagem do círculo ao lado, a aceleração tangencial teria sentido horário. No referencial não inercial, surge uma força fictícia de sentido oposto a ela, perpendicular ao peso, consequentemente coplanar.

2) A velocidade angular mínima para a pessoa ficar acima do piso se dá nas situações clássicas de um rotor, quando o atrito se equipara ao peso e a normal age como força centrípeta:

N = Fcp
N = mω²R
Vertical:
Fat = P
μN = mg
μ(mωO²R) = mg

ωO² = g/μR

Acho que é isso