Resolução de triângulos

Determinar as distãncias dos pontos A e B ao ponto inacessível O, dados:

AB = V20 , MB = V35 , MA = V5 e AB^N =135° (^ em cima do B)

Obs: OAM estão alinhados, o mesmo ocorrendo com OBN.

R:
BO = V90 - V30
AO = 2(V15 -V5)

Correção: No desenho o ponto inacessível é D e no enunciado é O. Vou considerar O:

Lei dos cossenos no triângulo AMB ---> MB² = MA² + AB² - 2*MA*AB*cosMÂB --->

(V35)² = (V5)² + (V20)² - 2*V5*V20*cosMÂB ----> 35 = 5 + 20 - 20*cosMÂB --->

20*cosMÂB = - 10 ----> cosMÂB = - 1/2 ----> MÂB = 120º

OÂB = 180º - MÂB ----> OÂB = 180° - 120° ----> OÂB = 60º

AB^O = 180º - AB^N ----> A^BO = 180º - 135° ----> AB^O = 45º

AÔB + AB^O + OÂB = 180° ----> AÔB + 45º + 60º = 180º ----> AÔB = 75°

Lei dos senos no triângulo OAB: OA/senAB^O = AB/senAÔB ---->

OA/sen45º = V20/sen75° ----> OA = V20*sen45º/sen75° ---->

OA = V20*(V2/2)/[(V6 + V2)/4] ----> OA = (2*V5)*(2*V2)/(V6 + V2) ---->

OA = 4*V10*(V6 - V2)/(V6 + V2)*(V6 - V2) ----> OA = 4*V10*(V6 - V2)/4

OA = V60 - V20 -----> OA = 2*V15 - 2*V5 ----> OA = 2*V15 - V5)

Calcule vc o valor de OB

Mas o 75° não é um ângulo notável. Como você sabia o valor do seno dele ?

É notável sim:

sen75º = sen(45º + 30º)

sen75º = sen45º*cos30º + sen30º*cos45º

sen75° = (V2/2)*(V3/2) + (1/2)*(V2/2)

sen75º = V6/4 + V2/4

sen75º = (V6 + V2)/4