Fator racionalizante

por Fabinho snow Sáb 14 Fev 2015, 16:11

Eu estava a procura do fator racionalizante de uma expressão, porém não o achei :/

Temo-la genericamente, como, 1 + ∛x + ∛y , então qual seria seu fator racionalizante? Rolling Eyes

por **Robson Jr.** Sáb 14 Fev 2015, 21:47

Existe uma fatoração notável envolvendo o cubo de três termos:

$\small a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

Tome a = 1, b = x^1/3 e c = y^1/3. O fator racionalizante será (a² + b² + c² - ab - ac - bc). Veja:

$\small \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}.\frac{1+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{xy}}{1+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{xy}}=\frac{1+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{xy}}{1+x+y-3\sqrt[3]{xy}}$

Agora surge problema menor: sumir com uma única raíz cúbica no denominador. Lembremos de outra identidade:

$\small p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)$

Tomando p = (1 + x + y) e q = 3(xy)^1/3, temos:

$\small \frac{1+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{xy}}{1+x+y-3\sqrt[3]{xy}}.\frac{(1+x+y)^2+3(1+x+y)\sqrt[3]{xy}+9\sqrt[3]{(xy)^2}}{(1+x+y)^2+3(1+x+y)\sqrt[3]{xy}+9\sqrt[3]{(xy)^2}}$

O resultado, embora feio, é o seguinte:

$\small \boxed{\frac{(1+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{xy})((1+x+y)^2+3(1+x+y)\sqrt[3]{xy}+9\sqrt[3]{(xy)^2})}{(1+x+y)^3-27xy}}$

por Fabinho snow Dom 15 Fev 2015, 08:21

Obrigado mesmo pela solução, mas poderia exemplificar mais como você jogou o artifício "p³-q³" no denominador? Novamente, obrigado.

por **Robson Jr.** Dom 15 Fev 2015, 10:18

O uso de p³ - q³ foi o seguinte:

$\small (\underset{p-q}{\underbrace{(1+x+y)-3\sqrt[3]{xy}}}).(\underset{p^2+pq+q^2}{\underbrace{(1+x+y)^2+3(1+x+y)\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{(xy)^2}}})=\underset{p^3-q^3}{\underbrace{(1+x+y)^3-27xy}}$

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