Questão sobre divisibilidade

por amms Qui 12 Fev 2015, 17:05

Qual a maior potência de 10 que divide 1000!.Cheguei a ver uma resolução ,porém não compreendi alguém poderia ajudar resolver a questão de forma didática , agradeço desde já.

por **ivomilton** Qui 12 Fev 2015, 18:58

amms escreveu:Qual a maior potência de 10 que divide 1000!.Cheguei a ver uma resolução ,porém não compreendi alguém poderia ajudar resolver a questão de forma didática , agradeço desde já.

Pensando melhor, creio que encontrei a solução.
Deletei esta e postei a que considero correta.
Ver mais abaixo.

Um abraço.

por **Euclides** Qui 12 Fev 2015, 19:09

Ivomilton,

na verdade é 1000 fatorial: 1000!

por **Elcioschin** Qui 12 Fev 2015, 19:26

100! = 1000.999,998 .......... 3.2.1

1000 tem 3 zeros

900, 800, 700, 600, 500, 400, 300, 200, 100 ---> tem 18 zeros

990, 980.... 910, 890 ........110, 90, 80,.... 10 ---> são 90 zeros

995, 985, ......... 15, 5 ---> são 100 números terminados em 5

Qualquer um deste 100 números, quando multiplicado por um par resulta em um zero logo temos mais 100 zeros

Total de zeros = 3 + 18 + 90 + 100 = 211 zeros

Maior potência = 10²¹¹

por amms Qui 12 Fev 2015, 20:11

Agradeço a atenção Mestre, no entanto, a resolução que eu havia visto dizia que o resultado era 10 elevado a 249.

por **ivomilton** Sex 13 Fev 2015, 11:26

amms escreveu:Qual a maior potência de 10 que divide 1000!.Cheguei a ver uma resolução ,porém não compreendi alguém poderia ajudar resolver a questão de forma didática , agradeço desde já.

Bom dia,

Repensando a questão, cheguei a esta conclusão:
Contar todos os números da série 1 a 1000 que sejam formados por 5, 5² 5³ e 5⁴.
Múltiplos de 5 = 1000/5 - 1 = 200 - 1 = 199
Múltiplos de 5² = 1000/25 - 1 = 40 - 1 = 39
Múltiplos de 5³ = 1000/125 - 1 = 8 - 1 = ' 7
Múltiplos de 5⁴ = 1000/625 ................'' = 1
1000 = 10³ ........................................ = 3
-------------------------------------------------
Totalizando ..................................... = 249

Notas:
Contei todos os múltiplos, inclusive os ímpares, porque estes, ao serem reunidos com um fator primo 2, formam múltiplos de 10 (e existem suficientes números pares de 1 a 1000).
As diversas subtrações do 1 se devem a que devemos sempre excluir o número 1000, pois seria contado no final da relação.

Um abraço.