polinômio
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polinômio
por Kowalski Seg 26 Jan 2015, 19:35
O polinomio P(x) = x^4 - 3x³ - 2x² + 12x + m = 0 tem uma raiz dupla x = 2.
As outras raizes estao no conjunto:
a)( ) { -2, 2, 3}
b)( ) { 1, 0, 3}
c)( ) { 1, 2, 1}
d)( ) { -1, 3, 2}
e)( ) {1, 3, -2 } <<<
As outras raizes estao no conjunto:
a)( ) { -2, 2, 3}
b)( ) { 1, 0, 3}
c)( ) { 1, 2, 1}
d)( ) { -1, 3, 2}
e)( ) {1, 3, -2 } <<<
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Re: polinômio
por Carlos Adir Seg 26 Jan 2015, 20:15
Raiz dupla, então temos:
P(x)=(x-2)(x-2)(x-a)(x-b)=x^4-3x³-2x²+12x+m
Por Girard, temos que:
2+2+a+b=3 --> a+b=-1
2.2+ab+4a+4b=-2 --> ab + 4(a+b)=-6 --> ab=-2
Então:
(x-a)(x-b)=x²-x-2
Logo, achando as raizes:
a=1 e b=-2
P(x)=x^4-3x³-2x²+12x-8 = (x-2)(x-2)(x-1)(x+2)
Wolframalpha
Gráfico:
P(x)=(x-2)(x-2)(x-a)(x-b)=x^4-3x³-2x²+12x+m
Por Girard, temos que:
2+2+a+b=3 --> a+b=-1
2.2+ab+4a+4b=-2 --> ab + 4(a+b)=-6 --> ab=-2
Então:
(x-a)(x-b)=x²-x-2
Logo, achando as raizes:
a=1 e b=-2
P(x)=x^4-3x³-2x²+12x-8 = (x-2)(x-2)(x-1)(x+2)
Wolframalpha
Gráfico:
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Re: polinômio
por Kowalski Qui 28 maio 2015, 15:32
eu não entendi essa parte P(x)=(x-2)(x-2)(x-a)(x-b) esse (x-2)(x-2) estão se multiplicando porque a raiz é dupla? , agora (x-a)(x-b) estão ali por que??
(x-a)(x-b)=x²-x-2 nessa ai eu achei , x² -xb -xa + ab , como ab = -2
ficou x² -xb -xa -2
mas oque você fez ficou x² - x - 2 , eu não entendi oque vc fez com o "b" e o "a" para ficar apenas -x
(x-a)(x-b)=x²-x-2 nessa ai eu achei , x² -xb -xa + ab , como ab = -2
ficou x² -xb -xa -2
mas oque você fez ficou x² - x - 2 , eu não entendi oque vc fez com o "b" e o "a" para ficar apenas -x
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Re: polinômio
por Carlos Adir Qui 28 maio 2015, 16:08
o -2 aparece duas vezes pois é raiz dupla.
As outras raizes são a e b, e portanto, o polinômio pode ser escrito da forma:
(x-2)(x-2)(x-a)(x-b)
Podes dividir o polinômio por (x-2)²
Mas uma outra maneira é expandir o (x-2)(x-2)(x-a)(x-b)
E então igualar com o polinômio achado.
No caso utilizei as relações de Girard, tais como:
(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d}&space;\\&space;\Rightarrow&space;\begin{cases}\mathrm{x_1+x_2+x_3+x_4=-a}&space;\\&space;\mathrm{x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=b}\\&space;\mathrm{x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_2x_3x_4=-c}&space;\\&space;\mathrm{x_1x_2x_3x_4=d}&space;\end{cases} "\\ \mathrm{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d} \\ \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{x_1+x_2+x_3+x_4=-a} \\ \mathrm{x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=b}\\ \mathrm{x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_2x_3x_4=-c} \\ \mathrm{x_1x_2x_3x_4=d} \end{cases}")
As outras raizes são a e b, e portanto, o polinômio pode ser escrito da forma:
(x-2)(x-2)(x-a)(x-b)
Podes dividir o polinômio por (x-2)²
Mas uma outra maneira é expandir o (x-2)(x-2)(x-a)(x-b)
E então igualar com o polinômio achado.
No caso utilizei as relações de Girard, tais como:
____________________________________________
← → ↛ 
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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Re: polinômio
por Kowalski Qui 28 maio 2015, 17:00
ultima duvida , ficou assim a + b = 1 e ab=-2
ab= -2 ---> a= -2/b jogando em a + b = -1 fica
-2/b + b = -1
b² + b - 2
x`= 1
x´´= -2
na sua resolução ficou
a=1 e b=-2 , mas tanto faz ter chamado b =-2 ou ter chamado ele de b=1 pois as raízes de b são 1 e -2 ??????
ai para b = -2 , a= -2/b = 1 e para b = 1 o a= -2/b = -2
na sua resolução vc escolheu b = -2 e o a ficou 1 , mas vc também poderia escolher escolher b =1 e o a ficaria -2 que não mudaria em nada a resposta ??????
ab= -2 ---> a= -2/b jogando em a + b = -1 fica
-2/b + b = -1
b² + b - 2
x`= 1
x´´= -2
na sua resolução ficou
a=1 e b=-2 , mas tanto faz ter chamado b =-2 ou ter chamado ele de b=1 pois as raízes de b são 1 e -2 ??????
ai para b = -2 , a= -2/b = 1 e para b = 1 o a= -2/b = -2
na sua resolução vc escolheu b = -2 e o a ficou 1 , mas vc também poderia escolher escolher b =1 e o a ficaria -2 que não mudaria em nada a resposta ??????
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Re: polinômio
por Carlos Adir Qui 28 maio 2015, 18:29
Não, não mudaria nada a resposta.
O nosso interesse é determinar os valores de a e de b, mas pode ser x, y, não importa o nome que seja.
O importante é determinar as raizes, que no caso foram 1 e -2.
O nosso interesse é determinar os valores de a e de b, mas pode ser x, y, não importa o nome que seja.
O importante é determinar as raizes, que no caso foram 1 e -2.
____________________________________________
← → ↛ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
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∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
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