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polinômio

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Mensagem por Kowalski Seg 26 Jan 2015, 19:35

O polinomio P(x) = x^4 - 3x³ - 2x² + 12x + m = 0 tem uma raiz dupla x = 2. 

As outras raizes estao no conjunto:
a)( ) { -2, 2, 3}
b)( ) { 1, 0, 3}
c)( ) { 1, 2, 1}
d)( ) { -1, 3, 2}
e)( ) {1, 3, -2 } <<<
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Mensagem por Carlos Adir Seg 26 Jan 2015, 20:15

Raiz dupla, então temos:
P(x)=(x-2)(x-2)(x-a)(x-b)=x^4-3x³-2x²+12x+m
Por Girard, temos que:
2+2+a+b=3 --> a+b=-1
2.2+ab+4a+4b=-2 --> ab + 4(a+b)=-6 --> ab=-2
Então:
(x-a)(x-b)=x²-x-2
Logo, achando as raizes:
a=1 e b=-2

P(x)=x^4-3x³-2x²+12x-8 = (x-2)(x-2)(x-1)(x+2)
Wolframalpha
Gráfico:
polinômio LZaLMCE
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Mensagem por Kowalski Qui 28 maio 2015, 15:32

eu não entendi essa parte P(x)=(x-2)(x-2)(x-a)(x-b)  esse (x-2)(x-2) estão se multiplicando porque  a raiz é dupla? ,  agora (x-a)(x-b)  estão ali por que??



(x-a)(x-b)=x²-x-2   nessa ai eu achei , x² -xb -xa + ab , como ab = -2
ficou x² -xb -xa -2
mas oque você fez ficou x² - x - 2 , eu não entendi oque vc fez com o "b" e o "a" para ficar apenas -x
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Mensagem por Carlos Adir Qui 28 maio 2015, 16:08

o -2 aparece duas vezes pois é raiz dupla.
As outras raizes são a e b, e portanto, o polinômio pode ser escrito da forma:
(x-2)(x-2)(x-a)(x-b)
Podes dividir o polinômio por (x-2)²
Mas uma outra maneira é expandir o (x-2)(x-2)(x-a)(x-b)
E então igualar com o polinômio achado.

No caso utilizei as relações de Girard, tais como:

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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Mensagem por Kowalski Qui 28 maio 2015, 17:00

ultima duvida , ficou assim a + b = 1 e ab=-2
 
ab= -2 ---> a= -2/b jogando em a + b = -1 fica

-2/b + b = -1

b² + b - 2 
x`= 1
x´´= -2

na sua resolução ficou
a=1 e b=-2         ,  mas tanto faz ter chamado b =-2 ou ter chamado ele de b=1 pois as raízes de b são 1 e -2 ??????

ai para b = -2 , a= -2/b = 1    e para b = 1 o a= -2/b = -2

na sua resolução vc escolheu b = -2 e o a ficou 1 , mas vc também poderia escolher escolher b =1 e o a ficaria -2  que não mudaria em nada a resposta ??????
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Mensagem por Carlos Adir Qui 28 maio 2015, 18:29

Não, não mudaria nada a resposta.
O nosso interesse é determinar os valores de a e de b, mas pode ser x, y, não importa o nome que seja.
O importante é determinar as raizes, que no caso foram 1 e -2.

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
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Mensagem por Kowalski Qui 28 maio 2015, 18:52

entendi perfeitamente , valeu!
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