Aceleração da partícula

Boa noite prezados usuários do Pir²!

Suponha que descreva a velocidade de uma partícula que se desloca em uma trajetória retilínea, dada em cm/s. Considerando , a aceleração média desse movimento, entre os instantes t e 1, calcule a aceleração desse movimento no instante t = 1.

Faça a interpretação do resultado obtido.

Qual a aceleração desse movimento no instante 2s.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Note que a expressão dada não pode ser válida para , pois incorre em divisão por zero.



a aceleração instantânea pode ser conhecida pela derivada da velocidade

Outra solução, sem derivar:

v(t) = t² - 4t + 2 ----> v(1) = 1² - 4*1 + 2 ----> v(1) = - 1

am(t) = [v(t) - v(1)]/(t - 1)

am(t) = [(t² - 4t + 2) - (-1)]/(t - 1)

am(t) = [(t² - 4t + 2) + 1]/(t - 1)

am(t) = (t² - 4t + 3)/(t - 1) ----> Fatorando o numerador:

am(t) = (t - 3)*(t - 1)/(t - 1)

am(t) = t - 3 ----> am(1) = 1 - 3 ----> am(1) = - 2 m/s²

Olá Elcio e Pietro,

o que o Elcio fez foi a primeira coisa em que pensei e descartei porque na simplificação:



incorre-se em divisão por zero para , que é exatamente o valor a ser usado em seguida.

Vou tentar dar mais detalhes para o Pietro

Se utilizarmos a fórmula original para calcular a(1) chega-se numa indeterminação, já que o denominador (t - 1) será nulo .

A saída é utilizar o conceito de limite e "levantar" a indeterminação.
Neste caso bastou aplicar a fórmula e fatorar, para se conseguir "cancelar" parcelas iguais no numerador e no denominador.

O uso de derivadas nada mais é do que calcular o limite da fórmula quando t tende a 1.

Resolví mostrar um outro caminho porque não sabia se o Pietro conhecia derivadas.

Boa tarde prezados Elcio e Euclides!

Muito obrigado pelas soluções! Na verdade, ainda não tenho conhecimento de derivadas. Conheci acompanhar a solução apresentada pelo Elcio.

No finalzinho da questão pede a aceleração no instante t = 2s. Seria isso
am(t) = t - 3 ----> am(2) = 2 - 3 ----> am(2) = - 1 m/s² ?

Atenciosamente,

Pietro di Bernadone

Pietro

A equação mostrada serve somente para cálculo no tempo t = 1

Para qualquer outro instante somente através de derivadas como o Euclides mostrou:

am(t) = 2t - 4 ---> am(2) = 2*2 - 4 ----> am(2) = 0

Você deve estar achando que este resultado é muito esquisito. Vou mostrar que não é:

V(t) = t² - 4t + 2 é uma função do 2º grau

O gráfico desta função é uma parábola com a concavidade voltada para cima (a > 0).

A abcissa do vértice desta função é dada por: tV = - b/2a ---> tV = - (-4)/2*1 --->

tV = 2

Isto significa que para t = 2 a reta tangente à curva é paralela ao eixo das abcissas.
Neste caso o coeficiente angular desta reta vale: m = tg0º = 0

Acontece que o coeficiente angular de qualquer reta tangente à equação da velocidade é a aceleração do movimento ---> am(2) = 0