Geometria Plana e Lugares Geometricos

por jorgetibirica Seg 12 Jan 2015, 23:40

Na figura abaixo A, B, C sao pontos de tangencia. Entao x vale:

Resposta: 1/16

Geometria Plana e Lugares Geometricos 23u7vx1

por **Carlos Adir** Ter 13 Jan 2015, 01:12

Geometria Plana e Lugares Geometricos 5dNXLMG

Pela imagem ficou dificil saber se o diâmentro é 3/8 ou o raio que é 3/8.
Se r é o raio da circunferência, sabemos que r/(DC)=tan 30°
Logo, DC = r/(1/√3) = r . √3
Por pitágoras, tem-se que r² + ( r . √3)² = (OD)² --> OD = 2 r
Tem-se então que 1/2 + x = 2 r + r
x = 3 r - 1/2

$\begin{cases}Se \ r=\dfrac{3}{8} \Rightarrow x=\dfrac{5}{8}=0,625 \\ Se \ r=\dfrac{3}{16} \Rightarrow x=\dfrac{5}{80}=0,0625 \end{cases}$

por jorgetibirica Ter 13 Jan 2015, 08:45

Carlos, obrigado pela solução. O diametro é 3/8 entao sua segunda resposta é a correta. Eu só gostaria de perguntar uma coisa. Porque voce colocou DC=r/(1/√3)=r.√3? Eu nao consegui entender, pois tan 30 é √3/3. No resto, entendi seu raciocinio, obrigado.

por **Carlos Adir** Ter 13 Jan 2015, 11:43

Dá também utilizando tan 30° = √3/3:
$\\ \dfrac{\overline{OC}}{\overline{DC}}=tan \ 30^o \Rightarrow \overline{DC}=\dfrac{r}{tan \ 30^o}\\ \Rightarrow \overline{DC}=\dfrac{r}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )} \\ \Rightarrow \overline{DC}=r \cdot \dfrac{3}{\sqrt{3}}=r \cdot \dfrac{3}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ \Rightarrow \overline{DC}=r \cdot \dfrac{3 \sqrt{3}}{3}=r \cdot \sqrt{3}$

A tangente de 30 pode ser escrita tanto como:
$tan \ 30^o = \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

por **Elcioschin** Ter 13 Jan 2015, 12:39

1/√3 = √3/3

por jorgetibirica Ter 13 Jan 2015, 22:18

Ok, entendi. Desculpem mas só mais uma pergunta, qual teorema ou postulado define que OD é 2r?

por **Euclides** Ter 13 Jan 2015, 23:12

jorgetibirica escreveu:Ok, entendi. Desculpem mas só mais uma pergunta, qual teorema ou postulado define que OD é 2r?

Sendo 3/8 o diâmetro e usando como referência a figura do Carlos Adir

$\\x+\frac{1}{2}=OD+r\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{r}{OD}=\sin(30)\;\;\to\;\;OD=2r\\\\\\x=2r+r-\frac{1}{2}\;\;\to\;\;x=3r-\frac{1}{2}\;\;\to\;\;x=\frac{9}{16}-\frac{1}{2}\;\;\;\boxed{\Rightarrow \frac{1}{16}}$