Problema dificil

Eu ainda consegui apenas resolver o exercício a) onde tive em conta os números impares:
O conjunto dos números ímpares é dado por , onde  é um número natural.

Para um número  ser escrito como soma de 2 números consecutivos então:

Onde  é o menor número dessa soma


Conclusão: Qualquer número ímpar pode ser escrito como soma de 2 números naturais consecutivos


Para um número  ser escrito como soma de 3 números consecutivos então:


Onde  é o menor número dessa soma

•  é múltiplo de 3
  
• Ao somarmos 3 a um múltiplo de 3, o resultado é outro múltiplo de 3
  

Conclusão: Todos os múltiplos de 3 podem ser escritos como soma de 3 números naturais consecutivos


Então para a resolução do problema, todos os números ímpares e múltiplos de 3 podem ser escritos como soma de 2 e 3 números consecutivos.


 resulta em todos os múltiplos de 3 (pares e ímpares)
Como nós só queremos os ímpares:

•  varia podendo ser um número par ou ímpar
  
• Existe um corolário que afirma que a multiplicação de um número par por um número par ou ímpar resulta num número par
  
• Outro corolário afirma que a soma de um número ímpar com um número par resulta num número ímpar
  

Então se multiplicarmos o  por um número par, resulta num número par. Ao somarmos um número ímpar (neste caso o 3) resultará num número ímpar. Deste modo:

•  é um número par
  
•  resulta em todos os números pares múltiplos de 3
  
• Somando 3, resultará em todos os números ímpares múltiplos de 3 (tal como queriamos demonstrar)
  

Conclusão: Qualquer número da forma   pode ser escrito simultaneamente como soma de 3 números consecutivos e como soma de 2 números consecutivos.


Os outros tenho tido uma grande dor de cabeça e não consigo decifrar o exercicio b)
Cheguei a uma "meia resposta" no exercicio c) mas sem grandes certezas:

Sendo  a quantidade de números consecutivos desejados e  o menor número dessa soma, deduzi a fórmula que permite calcular os números possiveis para cada .





Deste modo:

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Atendendo às propriedades dos números e das operações cheguei às seguintes conclusões:

• O número k tem de ser múltiplo de 9
  
• O número k tem de ser ímpar
  
• O número k tem de ser múltiplo de 11
  

Mas agora para calcular o menor número só por tentativas. Poderíamos indo calcular os números que são simultâneamente múltiplos de 9 e 11 e, se forem ímpares, verificar se  resultará uma solução inteira. Isso seria bastante trabalhoso. Foi por essa razão que postei aqui, ver se alguém me poderia ajudar no problema b) e c) ou talvez outra forma de provar a)