Problema difícil

por duarterj Sex 07 Fev 2014, 20:36

Estou tentando resolver o problema abaixo, alguém pode me ajudar?

Em um triângulo ABC, traçam-se as bissetrizes internas AM e CN, as quais se interceptam em "I". Se AB é diferente de BC e NI=IM, calcule a medida do ângulo ABC. Resposta 60°.

por **Matheus Vilaça** Sáb 08 Fev 2014, 17:04

Olá Duarte
Segundo o enunciado, temos o seguinte caso:
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- Sabemos que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados do triângulo. Com isso, como IN=IM e I é o incentro, IN é perpendicular a AB e IM é perpendicular a CB.
- Tomando o quadrilátero NIMB, sabemos que a soma de seus ângulos internos tem que ser 360º

NÎM= 180º -(θ + β)
ABC= 180º -(2θ + 2β)

Assim:
NIM + ABC + INB + IMB = 360
180º -(θ + β) +180º -(2θ + 2β) + 90 + 90 = 360º
3(θ + β)=180º
θ + β =60º

Assim, o ângulo ABC será:
ABC = 180 - 2(θ + β)
ABC = 180 - 2.60 = 60º

Espero ter ajudado!

por duarterj Seg 10 Fev 2014, 08:26

Bom dia, agradeço sua atenção. Apesar de você ter achado a resposta, não vejo como afirmar que IN e IM são perpendiculares a AB e CB respectivamente, se o triângulo fosse equilátero acredito que seria verdade, pois neste caso a bissetriz também é altura e mediana. No caso do incentro o que é perpendicular aos lados do triângulo é o raio do círculo, cujo centro é o incentro, inscrito a esse triângulo. Peço por favor que verifique essas informações. Ainda não evolui muito na resolução do problema, assim que tiver algo significativo eu posto.

por **Elcioschin** Seg 10 Fev 2014, 13:12

As bissetrizes realmente não são perpendiculares aos lados
Entretanto a soma dos ângulos opostos do quadrilátero vale 180º.
A correção na solução é mínima

NÎM= 180º -(θ + β)
ABC= 180º -(2θ + 2β)

Assim:

NIM + ABC = 180º
180º -(θ + β) +180º -(2θ + 2β) = 180º
3(θ + β)=180º
θ + β =60º

Assim, o ângulo ABC será:
ABC = 180 - 2(θ + β)
ABC = 180 - 2.60 = 60º