(Olimpíada da China-98) Aritmética

por **alansilva** Sex 09 Jan 2015, 08:57

Existe algum inteiro positivo N tal que o número formado pelos últimos dois dígitos da soma 1+2+3+...+N=...98?

por **ivomilton** Sex 09 Jan 2015, 14:23

alansilva escreveu:Existe algum inteiro positivo N tal que o número formado pelos últimos dois dígitos da soma 1+2+3+...+N=...98?

Bom dia, Alan.

Ainda não sei como provar, mas as somas 1+2, 1+2+3, etc, formam uma série de números triangulares, cujo formato é n(n+1)/2.

Usando o programa Excel, pude verificar que as somas terminadas em "8" têm sempre os formatos: 28 ou 78. Nunca 98!

Assim, creio que posso afirmar que a resposta à pergunta deixada é NÃO.

Um abraço.

por **Elcioschin** Sex 09 Jan 2015, 17:16

Suponham que exista um número que termine em 98 ---> k98 ---> k natural

n.(n + 1)/2 = k98 ---> n.(n + 1) = 2.k98

O produto de dois números naturais positivos consecutivos termina em 0, 2 ou 6:

1.2 = 2 ---> 2.3 = 6 ---> 3.4 = 12 ---> 4.5 = 20 --> 5.6 = 30 ---> 6.7 = 42 ---> 7.8 = 56 ---> 8.9 = 72 --> 9.10 = 90 etc.

Logo os terminados em 6 são:

2.3 = 6 ----> 12.13 = 156 ---> 22.23 = 506 ---> 32.33 = 1096 ---> etc. ---> m2.m3 ---> m natural
7.8 = 56 ---> 17.18 = 306 ---> 27.28 = 756 ---> 37.38 = 1406 ---> etc. ---> m7.m8 ---> m natural

Por sua vez 2.k98 termina em n96 com n ímpar: 1, 3, 5, 7, 9:

k = 0 --> 2.098 = 196 --> k = 1 --> 2.198 = 396 --> k = 2 --> 2.298 = 596 --> k = 3 --> 2.398 = 796 --> 2.498 = 996 etc.

Parece então que não existe um número k98 que atenda!